高三数学充分条件与必要条件思维导图

高三数学中，充分条件和必要条件是用来描述一个命题在逻辑上的推导关系的。充分条件是只要满足某个条件，就能推导出结论成立；而必要条件则是指结论成立时的前提条件。下面是小编整理的高三数学充分条件与必要条件思维导图，仅供大家参考。

文章目录

高三数学充分条件与必要条件思维导图

高三数学充要条件知识点整理

高三数学充分条件与必要条件训练题及答案解析

高三数学重要知识点总结归纳

20xx数学高考真题及答案解析

高三数学充分条件与必要条件思维导图

思维导图

知识梳理

1．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；

(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；

(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示：

形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．

3．存在量词与特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．

(2)特称命题：含有存在量词的命题．

(3)特称命题的符号表示：

形如“存在M中的元素x₀，使p(x₀)成立”的命题，用符号简记为∃x₀∈M，p(x₀)．

核心素养分析

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

题型归纳

题型1 全称命题与特称命题

【例1-1】（20xx•济南模拟）已知命题，，，则为　　

A．， B．，

C．， D．，

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以：命题，，，则为，．

故选：．

【例1-2】（20xx•河北区二模）命题“”的否定是　　

A．， B．

C．， D．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，；

故选：．

【跟踪训练1-1】（20xx•重庆模拟）命题，的否定为　　

A．， B．，

C．， D．，

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

高三数学充要条件知识点整理

一、充分条件和必要条件

当命题若A则B为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法

1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可

2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法

在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：

若AB，则p是q的充分条件。

若AB，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;

(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;

(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于充分条件与必要条件是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑正难则反的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

高三数学充分条件与必要条件训练题及答案解析

一、选择题

1．(文)已知a、b都是实数，那么“a²>b²”是“a>b”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　D

[解析]　a²>b²不能推出a>b，例：(－2)²>1²，但－2<1；a>b不能推出a²>b²，例：1>－2，但1²<(－2)²，故a²>b²是a>b的既不充分也不必要条件．

(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　由|x－1|<2得－2<x－1<2，∴－1<x<3；

由x(x－3)<0得0<x<3.

因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．

2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[答案]　A

[解析]　当x＝4时，|a|＝＝5

当|a|＝＝5时，解得x＝±4.

所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．

3．(文)已知数列{a_n}，“对任意的n∈N^*，点P_n(n，a_n)都在直线y＝3x＋2上”是“{a_n}为等差数列”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　点P_n(n，a_n)在直线y＝3x＋2上，即有a_n＝3n＋2，则能推出{a_n}是等差数列；但反过来，{a_n}是等差数列，a_n＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.

(理)(2010·南充市)等比数列{a_n}中，“a₁<a₃”是“a₅<a₇”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分与不必要条件

[答案]　C

[解析]　在等比数列中，q≠0，

∴q⁴>0，∴a₁<a₃⇔a₁q⁴<a₃q⁴⇔a₅<a₇.

4．(09·陕西)“m>n>0”是“方程mx²＋ny²＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　由m>n>0可以得方程mx²＋ny²＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.

5．(文)设集合A＝{x|<0}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　∵A＝{x|0<x<1}，∴A B，故“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，选A.

(理)(2010·杭州学军中学)已知m，n∈R，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　∵mn≠0⇔m≠0且n≠0，故选A.

6．(文)(2010·北京东城区)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　x＝时，y＝sin2x取最大值，但y＝sin2x取最大值时，2x＝2kπ＋，k∈Z，不一定有x＝.

(理)“θ＝”是“tanθ＝2cos”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　解法1：∵θ＝为方程tanθ＝2cos的解，

∴θ＝是tanθ＝2cos成立的充分条件；

又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos的解，

∴θ＝不是tanθ＝2cos的必要条件，故选A.

解法2：∵tanθ＝2cos，

∴sinθ＝0或cosθ＝－，

∴方程tanθ＝2cos的解集为

A＝，

显然 A，故选A.

7．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0即m＝或m＝－2，∴m＝是两直线相互垂直的充分而不必要条件．

8．(2010·浙江宁波统考)设m，n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是(　　)

A．l₁⊥m，l₁⊥n B．m⊥l₁，m⊥l₂

C．m⊥l₁，n⊥l₂ D．m∥n，l₁⊥n

[答案]　B

[解析]　当m⊥l₁，m⊥l₂时，∵l₁与l₂是β内两条相交直线，∴m⊥β，∵m⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m⊥l₁，m⊥l₂.

9．(2010·黑龙江哈三中)命题甲： ^x,2^1－x,2x²成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　由条件知甲：(2^1－x)²＝^x·2x²，

∴2(1－x)＝－x＋x²，解得x＝1或－2；

命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，

∴，∴x＝1，

∴甲是乙的必要不充分条件．

10．(2010·辽宁文，4)已知a＞0，函数f(x)＝ax²＋bx＋c，若x₀满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)

A．∃x∈R，f(x)≤f(x₀)

B．∃x∈R，f(x)≥f(x₀)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x₀)

D．∀x∈R，f(x)≥f(x₀)

[答案]　C

[解析]　∵f ′(x)＝2ax＋b，

又2ax₀＋b＝0，∴有f ′(x₀)＝0

故f(x)在点x₀处切线斜率为0

∵a＞0　f(x)＝ax²＋bx＋c

∴f(x₀)为f(x)的图象顶点的函数值

∴f(x)≥f(x₀)恒成立

故C选项为假命题，选C.

[点评]　可以用作差法比较．

二、填空题

11．给出以下四个命题：

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．

②命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题．

③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．

④命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题，

其中真命题的序号是 ．

[答案]　②③④

[解析]　①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假．

②逆命题：若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真．

③由条件得，＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°，或B＝120°.故③真；

④否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若f(－x)为奇函数，则f[－(－x)]＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾．

12．(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：

①数域必含有0,1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；

④数域必为无限集；

其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确命题的序号都填上)

[答案]　①④

[解析]　结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．

(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确命题的序号都填上)

[答案]　③④

[解析]　①整数a＝2，b＝4，不是整数；

②如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a＋b∉M；

③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．

④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．

13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式^x＋4>m>2x－x²对一切实数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)^x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是 ．

[答案]　(1,3)

[解析]　∵^x＝4>4,2x－x²＝－(x－1)²＋1≤1，

∴要使^x＋4>m>2x－x²对一切x∈R都成立，应有1<m≤4；由f(x)＝－(7－2m)^x在R上是单调减函数得，7－2m>1，∴m<3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴1<m<3.

14．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f(2^m)＝0；

②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；

③存在n∈Z，使得f(2ⁿ＋1)＝9；

④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)⊆(2^k,2^k＋1)．

其中所有正确结论的序号是 ．

[答案]　①②④

[解析]　对于①，f(2)＝0，又f(2)＝2f(1)＝0，

∴f(1)＝0，同理f(4)＝2f(2)＝0，f(8)＝0……

f(1)＝2f()＝0，

∴f()＝0，f()＝0……

归纳可得，正确．

对于②④当1<x≤2时，f(2x)＝4－2x，而2<2x≤4，

∴当2<x≤4时，f(x)＝4－x

同理，当4<x≤8时，f(x)＝8－x ……

∴当2^m－1<x≤2^m时，f(x)＝2^m－x，故②正确，④也正确．

而③中，若f(2ⁿ＋1)＝9，

∵2ⁿ<2ⁿ＋1≤2^n＋1∴f(x)＝2^n＋1－x，

∴f(2ⁿ＋1)＝2^n＋1－2ⁿ－1＝9，

∴2ⁿ＝10，∴n∉Z，故错误．

三、解答题

15．已知c>0.设命题P：函数y＝log_cx为减函数．

命题Q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围．

[解析]　由y＝log_cx为减函数得0<c<1

当x∈时，因为f ′(x)＝1－，

故函数f(x)在上为减函数，在(1,2]上为增函数．

∴f(x)＝x＋在x∈上的最小值为f(1)＝2

当x∈时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．得2>，解得c>

如果P真，且Q假，则0<c≤

如果P假，且Q真，则c≥1

所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．

16．给出下列命题：

(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：m<－2；q：方程x²－x－m＝0无实根．

(3)已知四边形M，p：M是矩形；q：M的对角线相等．

试分别指出p是q的什么条件．

[解析]　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；

而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0.

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵m<－2⇒方程x²－x－m＝0无实根；

方程x²－x－m＝0无实根⇒/ m<－2.

∴p是q的充分不必要条件．

(3)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；

而对角线相等的四边形不一定是矩形．

∴q⇒/ p.

∴p是q的充分不必要条件．

17．(文)已知数列{a_n}的前n项和S_n＝pⁿ＋q(p≠0，且q≠1)，求数列{a_n}成等比数列的充要条件．

[解析]　当n＝1时，a₁＝S₁＝p＋q.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(p－1)p^n－1，

由于p≠0，q≠1，

∴当n≥2时，{a_n}为公比为p的等比数列．

要使{a_n}是等比数列(当n∈N^*时)，则＝p.

又a₂＝(p－1)p，

∴＝p，∴p²－p＝p²＋pq，∴q＝－1，即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0，且p≠1，且q＝－1.

再证充分性：

当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，S_n＝pⁿ－1.

当n＝1时，S₁＝a₁＝p－1≠0；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(p－1)p^n－1.

显然当n＝1时也满足上式，∴a_n＝(p－1)p^n－1，n∈N^*，

∴＝p(n≥2)，∴{a_n}是等比数列．

综上可知，数列{a_n}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q＝－1.

(理)(2010·哈三中模拟)已知函数f(x)＝(x－1)²＋lnx－ax＋a.

(1)若x＝2为函数极值点，求a的值；

(2)若x∈(1,3)时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．

[解析]　(1)f ′(x)＝(x－1)＋－a，由f ′(2)＝0得，a＝；

(2)当a≤1时，∵x∈(1,3)，∴f ′(x)＝－(1＋a)≥2－2＝0成立，所以函数y＝f(x)在(1,3)上为增函数，

对任意的x∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0，所以a≤1时命题成立；

当a>1时，令f ′(x)＝(x－1)＋－a＝0得，x＝，则函数在

(0，)上为增函数，

在(，)上为减函数，

在(，＋∞)上为增函数，

当a≤时，1≤≤3，

则f(1)>f()，不合题意，舍去．

当a>时，函数在(1,3)上是减函数，f(x)<f(3)<0，不合题意，舍去．

综上，a≤1.

高三数学重要知识点总结归纳

一、排列

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.

2排列数的公式与性质

(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1

规定：0!=1

二、组合

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。

2比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

三、排列组合与二项式定理知识点

1.计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)

2.排列(有序)与组合(无序)

Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!

Cnm=n!/(n-m)!m!

Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k?k!=(k+1)!-k!

3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;

(4)列出式子计算和作答.

经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

4.二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m

二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)

所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和

Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1

③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

高三数学复习知识点归纳总结

不等式分类：

不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)(其中不等号也可以为<，≥，>中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

高三数学最新知识点

(1)先看“充分条件和必要条件”

当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”

若有p=>q，同时q=>p，则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p<=>q

(3)定义与充要条件

数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

20xx数学高考真题及答案解析

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