有关三角形的所有知识点 三角形重点知识必知

三角形是数学中重要的基础概念之一，研究三角形的性质和定理可以帮助我们更好地理解几何学和三角函数。在本文中，我们将介绍有关三角形的所有知识点，包括定义、分类、性质和定理等，一起来看看吧。

有关三角形的所有知识点1

1三角形的定义

三角形的定义是：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

2三角形的性质

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360°（外角和定理）。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、—个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。）

9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

3三角形的分类

1）三角形的分类按角分

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

2）三角形的分类按边分

1、不等边三角形：三条边都不相等。

2、等腰三角形：有两条边相等。

3、等边三角形：三条边都相等。

有关三角形的所有知识点2

证明三角形重心判定定义

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。

推论：由性质1可知GA+GB+GC=0

向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,

根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,

根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.

则1-x= y/2， x/2=1-y，

解得x=2/3,y=2/3.

证明三角形重心判定定理

中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。

在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?

以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。

过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。

由勾股定理可得

AO?=m?+n?,

中线定理的证明

中线定理的证明

AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,

AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.

∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?

=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)

又∵AO?=m?+n?,

∴AB?+AC?=2a?+2AO?

又∵B(-a，0)，C(a，0),

∴a=BC

∴a?=BC?

∴2a?=2·BC?=BC?

∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。

证明三角形重心判定性质

1、三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。

2、三角形的重心也是它的中点三角形的重心。

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

有关三角形的所有知识点3

　　1、等腰三角形知识总结——定义

　　(1)等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

　　(2)等边三角形：特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

　　2、等腰三角形知识总结——等腰三角形的相关概念

　　(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。

　　(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。

　　(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，称为等边三角形的中心。

　　(4)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。

　　①外心：三角形三边垂直平分线的交点。

　　②内心：三角形三条角平分线的交点。

　　③重心：三角形三条中线的交点。

　　④垂心：三角形三条高所在直线的交点。

　　3、等腰三角形知识总结——等腰三角形的性质定理

　　等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

　　(1)推理格式：在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。

　　(2)定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

　　4、等腰三角形知识总结——等腰三角形性质定理的推论

　　(1)推论内容

　　①推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

　　②推论2：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

　　(2)推论的作用：可证明角相等、线段相等或垂直。

　　5、等腰三角形知识总结——等腰三角形的判定定理

　　如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。

　　(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

　　(2)注意：该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。

　　(3)等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理。

　　6、等腰三角形知识总结——等腰三角形判定定理的推论

　　(1)推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

　　(2)推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

　　(3)推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

　　7、等腰三角形知识总结——等腰三角形的三边及三角关系

　　设腰长为a，底边长为b，则b<2a。

　　设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=(180°-∠A)/2。

　　8、等腰三角形知识总结——等边三角形的判定方法

　　(1)三条边都相等

　　(2)三个角都相等

　　(3)有一个角等于60°的等腰三角形

有关三角形的所有知识点4

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

　　2.三角形的分类

　　3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

　　4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　7.高线、中线、角平分线的意义和做法

　　8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

　　9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

　　推论1 直角三角形的两个锐角互余;

　　推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;

　　推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

　　三角形的内角和是外角和的一半。

　　10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

　　11.三角形外角的性质

　　(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;

　　(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;

　　(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;

　　(4)三角形的外角和是360°。

　　12.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

　　13.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

　　14.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

　　15.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

　　16.多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

　　17.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

　　18.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

　　19.公式与性质

　　多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°

　　20.多边形外角和定理：

　　(1)n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

　　(2)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°

　　21.多边形对角线的条数：

　　(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

　　(2)n边形共有n(n-3)/2条对角线。

有关三角形的所有知识点5

1全等三角形的判定

　　1、一般三角形全等的判定

　　（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。

　　（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）。

　　（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“ASA”）。

　　（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“AAS”）。

　　2、直角三角形全等的判定

　　利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等、

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）、

　　注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。

　　2与三角形有关的角

　　1、三角形的内角

　　三角形的内角和等于180。

　　2、三角形的外角

　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

　　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

　　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

　　3与三角形有关的线段

　　1、三角形的边

　　由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

　　顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

　　三角形两边的和大于第三边。

　　2、三角形的高、中线和角平分线

　　3、三角形的稳定性

　　三角形具有稳定性。

　　4相似三角形的判定方法

　　由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

　　（1）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；

　　（2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；

　　（3）如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

　　5三角形的三边关系：

　　在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

　　设三角形三边为a，b，c

　　则

　　a+b>c

　　a+c>b

　　b+c>a

　　a—b<c< div=””>

　　a—c<b< div=””>

　　b—c<a< div=””>

　　在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

　　则两直角边的平方和等于斜边平方。

　　在等边三角形中，a=b=c

　　在等腰三角形中，a，b为两腰，则a=b

　　在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2—2abcosc

　　6相似三角形

　　所谓的相似三角形，就是它们的形状相同，但大小不一样，然而只要其形状相同，不论大小怎样改变他们都相似，所以就叫做相似三角形。

　　三角对应相等，三边对应成比例的`两个三角形叫做相似三角形。

　　7相似三角形的判定方法有：

　　平行与三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，

　　如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，

　　如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似，

　　如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，

　　直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

　　直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

有关三角形的所有知识点6

　1、“三线八角”：两条直线被第三条直线所截而成的八个角。其中，

　　同位角：位置相同，及同旁和同规;

　　内错角：内部，两旁;

　　同旁内角：内部，同旁。

　　2、平行线的判定方法：

　　1)同位角相等，两直线平行

　　2)内错角相等，两直线平行

　　3)同旁内角互补，两直线平行

　　3、平行线的性质：

　　1)两直线平行，同位角相等

　　2)两直线平行，内错角相等

　　3)两直线平行，同旁内角互补

　　4、三角形的分类：

　　1)按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

　　2)按边分：等腰三角形、不等边三角形

　　5、三角形的性质：

　　1)三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边

　　2)三角形内角和为180o

　　3)三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和

　　6、三角形中的主要线段：

　　1)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段

　　中位线性质：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

　　2)三角形的中线、高线、角平分线都是线段

　　7、等腰三角形的性质和判定：

　　1)等腰三角形的两个底角相等

　　2)等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，简称三线合一

　　3)有两个角相等的三角形是等腰三角形

　　8、等边三角形的性质和判定：

　　1)等边三角形每个角都等于60o，同样具有三线合一的性质

　　2)三个角相等的三角形是等边三角形;三边相等的三角形是等边三角形;一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形

　　9、直角三角形的性质和判定：

　　1)直角三角形两个锐角和为90o(互余)

　　2)直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半

　　3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半

　　4)勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

　　5)勾股定理的逆定理：若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形

　　10、全等三角形：

　　1)对应边相等，对应角相等的三角形叫全等三角形

　　2)全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL

　　【观察这五种方法发现，要证三角形全等，至少要有一组相等的边，因此在应用是要养成先找边的习惯】

　　3)全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角、面积、周长、对应高、对应中线、对应角平分线都相等

　　11、分析、证明几何题的常用方法：

　　1)综合法(由因导果)：从命题的题设出发，通过一系列的有关定义、公理、定理的应用，逐步向前推进，知道问题解决

　　2)分析法(执果索因)：从命题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直到已知条件

　　3)两头凑法：将分析法和综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法适宜表达，因此在实际思考问题时，可合并使用灵活处理。以利于缩短题设与结论间的距离，最后达到完全沟通。

有关三角形的所有知识点7

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等干180°

已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。

1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba

则∠1=∠a，

∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180° 

∴∠a+∠b+∠acb=180°

2、证法二:过点c作de∥ab

则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°

3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca交ab于f

则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°

4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画 ∠1=∠a，

于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°

5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画 ∠1=∠a，

于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°

6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180° 

∴∠a+∠acb+∠b=180°

证明三角形外角判定性质

三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。

角形的外角性质

三角形的外角具有以下性质：

①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。 

②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 

③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 

④三角形的外角和是360° 三角形内角是两条线段的夹角 三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。

三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和。

有关三角形的所有知识点8

证明两个三角形相似定义

(1))平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似;

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);4如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似 [2] ;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

两个全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1:1

任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

两个等边三角形两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以相似。

有关三角形的所有知识点9

证明三角形内角判定方法

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明：过点C作CD∥BA，则∠1=∠A

∵CD∥BA

∴∠1+∠ACB+∠B=180°

∴∠A+∠ACB+∠B=180°

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明:作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，

则∠1=∠A，∠2=∠B

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明:过点C作DE∥AB，则∠1=∠B，∠2=∠A

又∵∠1+∠ACB+∠2=180°

∴∠A+∠ACB+∠B=180°

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明:作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，

CE为另一边画∠1=∠A，于是CE∥BA,

∴∠B=∠2

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°

证明三角形内角判定定理

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明：(1)选点O在△ABC内，则如图所示，

过点O分别作DE//AB,FG//BC,PQ//AC，即得：

∠POE=∠GPO=∠A，

∠POG=∠EFO=∠C，

∠EOF=∠PGO=∠B，

∵∠POE+∠POG +∠EOF=1800，

∴∠A +∠C +∠B=1800.

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明：若选点O在△ABC上且不为顶点,则如图所示，

过点O分作OQ//AC, OF//BC , 即得：

∠A=∠BOQ，∠C =∠OQB=∠QOF，∠B=∠AOF ,

∵∠BOQ+∠QOF+∠AOF=1800，

∴∠A +∠C +∠B=1800.

已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.

证明：若选点O在△ABC外,不在△ABC边的延长线上,则如图所示，

过点O作PQ//AC, 交BA、BC的延长线分别于P、Q,

再过点O作 EO//BC, DO//AB ,即得：

∠EOP=∠Q=∠C， ∠EOD=∠ODC=∠B，

∠DOQ=∠APO=∠BAC，

∵∠DOQ+∠EOD+∠EOP =1800，

∴∠ACB+∠B+∠BAC=1800.

从上面这八种三角形内角和定理证明方法当中，我们发现要想证明三角形的三个内角之和等于180°，就需要把问题转化到平角的大小为180°。因此，在解决问题的过程中，我们就想方设法将三角形的三个内角“转化成”一个平角，如利用添加辅助线的方法构造出一个平角，再运用一定技巧”移动”内角，将其构造成一个平角，这就是数学当中化归转化思想方法的运用。

有关三角形的所有知识点10

初二数学全等三角形的性质

　　1.全等三角形的对应角相等。

　　2.全等三角形的对应边相等。

　　3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点。

　　4.全等三角形的对应边上的高对应相等。

　　5.全等三角形的对应角的角平分线相等。

　　6.全等三角形的对应边上的中线相等。

　　7.全等三角形面积和周长相等。

　　8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。[1]

　　判定过程:

　　在第一行写要进行判定全等的两个三角形;

　　第二行画大括号，分别写判定的三个条件，并注明理由;

　　在第三行写出结论，并说明理由。

　　五种理由:

　　1.公共边;2.已知;3.已证;4.公共角;5.由定义推到的角，如”对顶角相等”。

　　最后一行，写两个三角形全等并注明理由.(如图)

　　四种理由

　　四种理由

　　(若为直角三角形，在第二行须先写明两个直角相等并为90度，再写两个斜边、直角边分别相等)。

　　(例:Rt△xxx与Rt△xxx)

　　(提示:线段的垂直平分线上的一点到线段的两个端点的距离相等)

　　温馨提示:

　　三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等。

有关三角形的所有知识点11

　初二数学全等三角形的推论

　　利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定:

　　SSS(Side-Side-Side)(边、边、边):各三角形的三条边的长度都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

　　SAS(Side-Angle-Side)(边、角、边):各三角形的其中两条边的长度都对应相等，且这两条边的夹角(即这两条边组成的角)都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

　　ASA(Angle-Side-Angle)(角、边、角):各三角形的其中两个角都对应相等，且这两个角的夹边(即公共边，)都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

　　AAS(Angle-Angle-Side)(角、角、边):各三角形的其中两个角都对应相等，且其中一个角的对边(三角形内除组成这个角的两边以外的那条边)或邻边(即组成这个角的一条边)对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

　　HL定理(hypotenuse -leg) (斜边、直角边):直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，该两个三角形就是全等三角形。

有关三角形的所有知识点12

　　海伦公式的证明⑴

　　与海伦在他的著作”Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 [1]

　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

　　S=1/2*ab*sinC

　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

　　设p=(a+b+c)/2

　　则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

　　海伦公式的证明⑵

　　中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

　　所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以

　　q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

　　当P=1时，△ 2=q,

　　△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

　　因式分解得

　　△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

　　=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

　　=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

　　=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

　　=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

　　=p(p-a)(p-b)(p-c)

　　由此可得：

　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

　　其中p=1/2(a+b+c)

　　这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

　　S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

　　根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积

　　这里用海伦公式的推广

　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边)

　　代入解得s=8√ 3

　　海伦公式的证明⑶

　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

　　O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长

　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

　　=ptanA/2tanB/2tanC/2

　　=r

　　∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

　　∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

　　=p(p-a)(p-b)(p-c)

　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

　　证明⑷

　　通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)

有关三角形的所有知识点13

三角形外角和证明方法3种

1、因为三角形的外角等于与不相邻的两个内角和，所以3个外角的和=2_三角形内角和=2_180度=360度。

2、用三角形的性质证明：三角形的内外角总合是540，三角形内角和是180，所以三角形的外角和是360度。

3、延长它的每一条边，假如这个三角形为等边三角形，可得，每一个外角等于180-60=120，120_3=360。

三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

△ABC的一个外角∠CBE=∠A+∠C。利用平行线的性质证明;也可以直接用三角形内角和定理证。

由三角形外角定理不难推出：三角形任意一个外角，大于和它不相邻的任意一个内角。∠CBE>∠A，∠CBE>∠C。

有关三角形的所有知识点14

五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。

五心的距离

OH²=9R²–(a²+b²+c²)。

OG²=R²–(a²+b²+c²)/9。

OI²=R²–abc/(a+b+c)=R² – 2Rr。

GH²=4OG²。

GI²=(p²+5r²–16Rr)/9。

HI²=4R²-p²+3r²+4Rr=4R²+2r²-(a²+b²+c²)/2。

其中，R是外接圆半径；r是内切圆半径。

证明

任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∴第三条边不可伸缩或弯折

∴两端点距离固定

∴这两条边的夹角固定

∵这两条边是任取的

∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定

∴三角形有稳定性

任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接

∴两端点距离不固定

∴这两边夹角不固定

∴n边形（n≥4）每个角都不固定

∴n边形（n≥4）没有稳定性

证毕。

作用

三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳定、坚固、耐压的特点。三角形的结构在工程上有着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，埃及金字塔等等。

有关三角形的所有知识点15

　一、平行线分线段成比例定理及其推论：

　　1、定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

　　2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

　　3、推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

　　二、相似预备定理：

　　平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

　　三、相似三角形：

　　1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

　　2、性质：（1）相似三角形的对应角相等；

　　（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

　　（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

　　说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；

　　②要注意两个图形元素的对应。

　　3、判定定理：

　　（1）两角对应相等，两三角形相似；

　　（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；

　　（3）三边对应成比例，两三角形相似；

　　（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

总之，研究三角形的知识点是学习数学和几何学的重要一步。通过了解三角形的定义、分类、性质和定理，我们可以更好地理解几何学和三角函数，并在实际问题中灵活运用它们，有关三角形的所有知识点的内容就分享到这里。