三角形知识点整理 三角形的基础知识点

三角形是初中数学中的基础知识之一，也是高中数学的重要内容。本文旨在整理三角形的相关知识点，帮助读者更好地掌握三角形的概念、性质和定理。在本文中，小编将三角形知识点整理好了。希望通过学习本文，读者将更好地理解三角形的性质和定理，提高数学学习的能力和水平。

三角形知识点整理1

三角形两边

定理：三角形两边的和大于第三边。

推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形的重心

三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

与三角形有关的角

1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

2.直角三角形两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形三个外角和为360°。

等腰三角形的性质和判定

◆  性质

1.等腰三角形的两个底角相等(简写成”等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成”等腰三角形的三线合一”)。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

◆  判定

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)

全等三角形的性质和判定

全等三角形共有5种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情况下平移、旋转、对折也会构成全等三角形。

1.SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.

2.SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.

3.ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等.

4.AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.

5.HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

注意：

1.SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.

2.SSA、AAA不能判定全等三角形.

3.在证明时注意利用定理，如：等式性质、等量代换、等角重合有等角、公共边、公共角、对顶角相等、等角或同角的余角或补角相等、角平分线定义、线段中点定义等.

4.证明全等写条件时注意书写顺序.

5.写全等结论时注意对应顶点的位置.

6.有时全等三角形会结合等腰三角形出现命题.

直角三角形的判定

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]

判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。

判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

等边三角形的判定

1.三边相等的三角形是等边三角形(定义)。

2.三个内角都相等的三角形是等边三角形。

3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

4. 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

勾股定理：

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

勾股定理的应用：

 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题 

勾股定理的逆定理：

 如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

1.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；

2.定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.

3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 

勾股数

1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c 为正整数时，称a，b，c 为一组勾股数

2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。

3.用含字母的代数式表示n组勾股数：（n为正整数）；（n为正整数）（m>n,m，n为正整数） 

两点间距离公式

公式描述：

公式中(x1，y1)，(x2，y2)分别为A、B两个点的坐标。

相似三角形

◆  简介：

三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

◆  性质：

1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3. 相似三角形周长的比等于相似比。

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

由 4 可得：相似比等于面积比的算术平方根。

5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项

7. a/b=c/d等同于ad=bc.

8. 不必是在同一平面内的三角形里。

◆  判定：

类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：

定理 两角分别对应相等的两个三角形相似。

定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

定理 三边成比例的两个三角形相似。

定理 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

根据以上判定定理，可以推出下列结论：

推论 三边对应平行的两个三角形相似。 

推论 一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

◆  推论：

推论一：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论二：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论三：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

射影定理：

射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)

公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

(1)(AD)^2;=BD·DC，

(2)(AB)^2;=BD·BC，

(3)(AC)^2;=CD·BC。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

◆  一、平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行相交的)直线上截得的线段也相等

◆  二、平行截割定理

两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例.

◆  三、平行截割定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例

解直角三角形

1.概念：由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。

2.特殊角值

锐角三角形

sinA=a/c,

cosA=b/c,

tanA=a/b,

1.互余角的三角函数值之间的关系

若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA 

2.同角的三角函数值之间的关系

①sin²A+cos²A=1

②tanA=sinA/cosA

③tanA=1/tanB

④a/sinA=b/sinB=c/sinC 

3.锐角三角函数随角度的变化规律

锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

4.符号 sin cos tan 

正弦函数sin（A）=a/c

余弦函数cos（A）=b/c

正切函数tan（A）=a/b

其中a为对边，b为邻边，c为斜边

三角形知识点整理2

知识点1.三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

知识点2：高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

因为三角形有3个顶点，所以有3条高。

知识点3：三角形的特性：

三角形具有稳定性，如自行车、篮球架、电线杆上都有这个应用；

四边形容易变形，如学校门口的伸缩门。

知识点4：三角形任意两边之和大于第三边。

注：当判断三条线段是否能围成三角形时，可以把两条最短的边加起来看是否大于第三边，因为当两条最短的边的和都大于第三边了，任意两边的和就一定大于第三边了。

如：3cm 2cm 7cm 3+2<7 所以围不成三角形

知识点5：三角形的分类

按三角形的角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

直角三角形的斜边比直角边长

按三角形的边分：等腰三角形（两腰相等，两底角相等）

等边三角形（三边相等；三个角相等，都是60°）

等边三角形也叫正三角形，还是特殊的等腰三角形。

典型题举例如下：一个等腰三角形的两条边分别是8厘米和10厘米，这个三角形的周长是多少厘米？

①当8厘米长的边是底边时

周长：8+10+10=28厘米

②当10厘米长的边是底边时

周长：10+8+8=26厘米

答：这个三角形的周长可能是28厘米，也可能是26厘米。

知识点6：三角形的内角和

三角形的内角和是１８０°。

典型题举例如下：

已知一个等腰三角形的一个内角是70°，那么它的另外两个内角分别是多少度？

①当70°是底角时

180°—70°—70°=40° 另外两个角分别是70°和40°

②当70°是顶角时

（180°—70°）÷2=55° 另外两个角都是55°

三角形知识点整理3

　一、目标与要求

　　1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

　　2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

　　3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

　　4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

　　5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

　　二、重点

　　三角形内角和定理;

　　对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

　　三、难点

　　三角形内角和定理的推理的过程;

　　在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;

　　用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

　　四、知识框架

　　五、知识点、概念总结

　　1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

　　2.三角形的分类

　　3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

　　4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　7.高线、中线、角平分线的意义和做法

　　8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

　　9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

　　推论1 直角三角形的两个锐角互余;

　　推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;

　　推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

　　三角形的内角和是外角和的一半。

　　10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

　　11.三角形外角的性质

　　(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;

　　(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;

　　(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;

　　(4)三角形的外角和是360°。

　　12.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

　　13.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

　　14.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

　　15.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

　　16.多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

　　17.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

　　18.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

　　19.公式与性质

　　多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°

　　20.多边形外角和定理：

　　(1)n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°

　　(2)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°

　　21.多边形对角线的条数：

　　(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。

　　(2)n边形共有n(n-3)/2条对角线。

三角形知识点整理4

三角形的定义

三角形是多边形中边数最少的一种.它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

    三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在.另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的.三角形中有三条边,三个角,三个顶点.

三角形中的主要线段

三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线.

这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握.并且对这三条线段必须明确三点：

   （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线.

 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部.而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边.

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点.在以后我们可以给出具体证明.今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心.

判定三条边能否构成三角形的依据

△ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”.可知：

③a+b＞c,①a+c＞b,②b+c＞a

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

由②、③得 b―a＜c,且b―a＞―c

故|a―b|＜c,同理可得|b―c|＜a,|a―c|＜b.

从而得到推论：

三角形任意两边的差小于第三边.

三角形按角分类

根据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角.

三角形按角可分类如下：

根据三角形的内角和定理可有如下推论：

推论1 直角三角形的两个锐角互余.

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

同时我们还很容易得到如下几条结论：

（1）一个三角形最多有一个直角或钝角.

（2）一个三角形至少有两个内角是锐角.

（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则,若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°,这与定理矛盾）.

(4) 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360°.

全等三角形的性质

全等三角形的两个基本性质

（1）全等三角形的对应边相等.

（2）全等三角形的对应角相等.

确定两个全等三角形的对应边和对应角

怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角?其方法主要可归结为：

（1）若两个角相等,这两个角就是对应角,对应角的对边是对应边.

（2）若两条边相等,这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角.

（3）两个对应角所夹的边是对应边.

（4）两个对应边所夹的角是对应角.

由全等三角形的定义判定三角形全等

由全等三角形的定义知,要判定两个三角形全等,需要知道三条边,三个角对应相等,但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的,因而需要找到能完全确定一个三角形的条件,以便用较少的条件,简便的方法来判定两个三角形的全等.

判定两个三角形全等的边、角、边公理

内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）.

这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来.

公理中的题设条件是三个元素：边、角、边,意指两条边和这两条边所夹的角对应相等.不能理解成两边和其中一个角相等.否则,这两个三角形就不一定全等.

例如 在△ABC和△A′B′C′中,

如右图,AB=A′B′,∠A=∠A′,

BC=A′C′,但是△ABC不全等于

△A′B′C′.

又如,右图,在△ABC和△A′B′C′中,AB＝A′B′,∠B=∠B′,AC＝A′C′,但△ABC和△A′B′C′不全等.

原因就在于两边和一角对应相等不是

公理中所要求的两边和这两条边的夹

角对应相等的条件.

说明：从以上两例可以看出,SAS≠SSA.

判定两个三角形全等的第二个公理

内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）.

这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它.

公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系.千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边.

如右图,在△ABC和△A′B′C′中,

∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB＝A′C′,

但这两个三角形显然不全等.原因就是

没有注意公理中“对应”二字.

公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即SAS不能改为SSA或ASS.而ASA

公理却能改变其顺序,可改变为AAS或SAA,但两个三角形之间的“对应”二字不能变.同时这个公理反映出有两个角对应相等,实质上是在两个三角形中有三个角对应相等,故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了.

由公理二可知,有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等

判定两个三角形全等的边、边、边公理

公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）.

边、边、边公理在判定两个三角形全等时,其对应边就是相等的两条边.

这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了.这就是三角形的稳定性.

判定两个三角形全等

通过以上三个公理的学习,可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等,而只需要其中三对条件.

三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合.无非有如下情况：

（1）三边对应相等.

（2）两边和一角对应相等.

（3）一边和两角对应相等.

（4）三角对应相等.

HL公理

我们知道,满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等.

但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立.

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为HL）.

这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等.这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件.由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用.

角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

逆定理：到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

点在角平分线上点到这个角的两边距离相等.

用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：

∵P在∠AOB的平分线上

PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD＝PE

逆定理：

∵PD＝PE,PD⊥OA,PE⊥OB

∴点P在∠AOB的平分线上.

角平分线定义

如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线.

角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.

三角形角平分线性质

三角形三条平分线交于一点,并且交点到三边距离相等.

互逆命题

在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.

原命题和逆命题的真假性

每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真.

互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.

每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理

尺规作图

限定用直尺（没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图.

基本作图

最基本最常见的尺规作图称之为基本作图,主要有以下几种：

（1）作一个角等于已知角；

（2）平分已知角；

（3）过一点作已知直线的垂线；

（4）作已知线段的垂直平分线；

（5）过直线外一点作已知直线的平行线.

有关概念

有两边相等的三角形称为等腰三角形.

三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形.

有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形.

等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例.

等腰三角形的有关概念

等腰三角形中,相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角.

等腰三角形的主要性质

两底角相等.

如图,ΔABC中AB＝AC,取BC中点D,连结AD,

容易证明：ΔABD≌ΔACD,∴∠B＝∠C.

如图,ΔABC中为等边三角形,

那么,由AB＝AC,得∠B＝∠C,

由CA＝CB,得∠A＝∠B,

于是∠A＝∠B＝∠C,但∠A＋∠B＋∠C＝180°,

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

如图,ΔABC中AB＝AC,且AD平分∠BAC,

那么由ΔABD≌ΔACD,

可得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC,

但∠ADB＋∠ADC＝180°,

∴∠ADB＝90°,从而AD⊥BC,

由此又可得到另外两个重要推论.

两个重要推论

等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边；

等边三角形各内角相等,且都等于60°.

等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法

三角形中,相等的边所对的角相等.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一.

等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边.它们都是证明两条线段相等的重要方法.

推论3

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

容易证明：这个推论的逆命题也是正确的.即：在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.

运用

利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论：“在一个三角形内,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角也较大；反过来,在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大.”

对称轴及中心

线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分.

线段的中点就是它的中心,今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”.

线段是以它的中垂线为对称轴的图形.

三线合一的定理的逆定理

如图所示,线段中垂线的性质定理的几何语言为：

于是可以用来判定等腰三角形,其定理实质上是

三线合一定理的逆定理.

“距离”不同,“心”也不同

“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”,而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”.

三角形三条角平分线相交于一点,这点到三边的距离相等(这点称为三角形的内心).

三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等(这点称为三角形的外心).

重要的轨迹

图(A）所示.到角的两边OA、OB的距

离相等的点P1、P2,P3…组成一条射

线OP,即点的集合.

如图(B)所示,到线段AB的两端点的距离

相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直

线P1P2,因此这条直线可以看成动点形

成的“轨迹”.

第十三节轴线称和轴对称图形

轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这条直线对称,也称轴对称.

根据定义,两个图形和如果关于直线l轴对称,则：

（1）和这两个图形的大小及形状完全相同.

（2）把其中一个图形沿l翻折后,和应完全重合,自然两个图形中的有关对应点也应重合.

事实上,直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线.所以容易得到如下性质：

性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形.

性质2 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.

性质3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上.

不难看出,如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.

轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线翻折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.

轴对称和轴对称图形的区别和联系

区别

①轴对称是指两个图形关于某条直线对称,而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称.

②轴对称的对应点分别在两个图形上,而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上.

③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边,而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形.

联系

①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合.

②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体,那么这个整体反映出的图形便是一个

轴对称图形；反过来,如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个

图形,那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称.

勾股定理

直角三角形

直角三角形中,两锐角互余,夹直角的两边叫直角边,直角的对边叫斜边,斜边最长.

等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例.也是等腰三角形中的特例.等腰直角三角形的两个底角都等于45°,顶角等于90°,相等的两条直角边是腰.

勾股定理

直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即,这就是勾股定理.

判定直角三角形

如果ΔABC的三边长为a、b、c,且满足,那么ΔABC是直角三角形,其中∠C＝90°.

第十五节勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理.即：在△ABC中,若a2＋b2＝c2,则△ABC为Rt△.

如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先求出最大边（如c）.

验证c2与a2＋b2是否具有相等关系.

若c2＝a2＋b2,则△ABC是以∠C＝90°的直角三角形.若c2≠a2＋b2,则△ABC不是直角三角形.

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专题1： 一题多问、一题多图和多题一解

提高分析问题和解决问题能力的方法是多种多样的,而认真的设计课本中例题、习题的变式,挖掘其潜能也是方法之一.课本中的例题、习题为中考命题提供了丰富的源泉,它们具有丰富的内涵,在由知识转化为能力上具有示范性和启发性,在解题思路和方法上具有典型性和代表性.如果我们不以得到解答为满足,而是在解完之后,深入其中作进一步的挖掘和多方位探索,不仅可得到一系列的新命题,也可从“题海”中解脱出来,达到事半功倍的效果.而且通过不同角度、不同方位去思考问题,探索不同的解答方案,从而拓宽了思路,培养了思维的灵活性和应变能力.

专题2： 利用扩、剖、串、改提高解题能力

学习几何时,感到例题好学易懂,但对稍加变化拓宽引申的问题束手无策,原因是把例题的学习看成是孤立的学一道题,学完就了事,致使解题时缺乏应变能力,但如果平时能重视对题目的扩充、剖解、串联和改编,就能较好地解决这一问题.

1．扩充：将原题条件拓展,使结论更加丰富充分.

2．剖分析原题,将较复杂的图形肢解为若干个基本图形,使问题化隐为显.

3．串联：由例题的形式（条件、结论等）,联想与它相似、相近、相反的问题.

4．改编：改变原题的条件形式,探索结论是否成立?

专题3： 分析、综合、辅助线

我们研究不等式的有关问题时,会发现很多巧妙的方法,还会不断学习掌握类比的数学思想,形数结合的思想,从未知向已知转化的化归思想,通过研究这些不断变化的问题,全面把握不等式及不等式组的解法,从而提高我们分析问题、解决问题的能力.

专题4： 不等式的若干应用

在平面几何里,证题思路主要有：（1）分析法,即从结论入手,逐步逆推,直至达到已知事实后为止.（2）综合法,先从已知条件入手,运用已学过的公式、定理、性质等推出证明的结论.（3）两头凑,就是将综合法和分析法有机地结合起来思考：一方面“从已知推可知”,从已知看可以推出哪些结论；另一方面“由未知看需知”,从所求结论逆推看需要什么条件,一旦可知与需知沟通,证题思路即有了.添加辅助线是证明几何题的重要手段,也是学习中的难点之一.

专题5： 几何证题的基本方法有两种：

一种是从条件出发,通过一系列已确立的命题逐步向前推演,直到达到证题目的,简言之,这是由因导果的方法,我们称之为直接证法或综合法,综合法证题的程序如下：欲证AB,由于AC,CD,…,x,而xB,故AB.

另一种则反过来,先假定命题的结论成立,考虑达到目的需具备什么条件,通过一系列的逆推直到回朔到已知条件为止.简言之,这是执果索因的方法,我们称之为分析法,分析法证题的程序如下：欲证“AB”,也就是BA,若能分析出BC,CD,…,x,而xA,则断言BA,也就是AB.

在实际操作上,往往把这两种方法结合起来,先分析探求铺路,再综合解题成功,简言之就是“倒着推,顺着走”.

—平移、旋转、对称

在几何证题中,常需要将一个图形进行适当的变换,常见的几何变换有全等变换,等积变换和相似变换.

本章只讲全等变换,也就是不改变图形的形状和大小,只改变图形位置的变换.

常见的全等变换的形式有三：

1．平移：将图形中的某些线段乃至整个图形平行移动到某一适当位置,作出辅助图形,使问题得

到解决.平移的基本特点是：任一线段在平移过

程中,其长度保持不变.

2．旋转：将平面图形绕平面内一定点M旋转一个定角α得到与原来形状和大小相同的图形,这样

的变换叫做旋转变换,M叫旋转中心,α角叫旋

转角.

旋转变换的主要性质：（1）变换后的图形与原图形全等；（2）原图中任一线段与旋转后的对应线段所成的角等于旋转角.

3．对称：将一个图形（或它的一部分）绕着一条直线翻转180°,得一个与原来形状、大小完全相同的图形,这种变换称为轴对称变换,轴对称变换的主要特点是：对称轴是一切翻转前后对应点连线的垂直平分线.

除轴对称外,还有中心对称,这一点我们将在下一章四边形中讲到.

方法总结：

复杂的图形都是由较简单的基本图形组成,故可将复杂的图形分解成几个基本图形这样使问题显而易见.

当直接证题有困难时,常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的.

综合法是从已知条件出发探索解题途径的方法.

分析法是从结论出发,用倒推来寻找证明思路的方法.

两头“凑”的方法,也就是综合运用以上两种方法才能找到证明思路.（又叫分析――综合法）.

转化思想就是将复杂问题转化、分解为简单的问题；或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想.

　　等腰三角形中，两腰相交于一点形成的夹角是顶角;两腰与底相交形成的两个夹角是底角。接下来，和小编一起来看一下四年级数学三角形知识点。

　　1.由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。

　　2.三角形有3条边，3个角，3个顶点。

　　3.从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

　　4.三角形有3条高，3个底。

　　5.三角形具有稳定性，不易变形。

　　6.三角形任意两边的和大于第三边。

　　7.三角形任意两边的差小于第三边。

　　8.快速判断任意三条线段能否围成一个三角形：看两条较短的线段之和是否大于第三条线段。

　　9.直角三角形的两条直角边互为底和高。

　　10.三个角都是锐角的三角形，是锐角三角形。

　　11.有一个直角的三角形，是直角三角形。

　　12.有一个钝角的三角形，是钝角三角形。

　　13.三角形按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

　　13.三角形按边分：普通三角形、等腰三角形、等边三角形

　　14.有两条边相等的三角形是等腰三角形。(按边)

　　有两个角相等的三角形是等腰三角形。(按角)

　　15.有三条边相等的三角形是等边三角形。(按边)

　　有三个角相等的三角形是等边三角形。(按角)

　　注：课本83页三角形集合图。

　　16.等边三角形是特殊的等腰三角形。

　　17.等边三角形一定是锐角三角形。

　　18.等腰三角形的两腰相等，两个底角相等。

　　19.等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是60度。

　　20.等边三角形也叫正三角形。

　　21.等腰三角形中，两腰相交于一点形成的夹角是顶角;两腰与底相交形成的两个夹角是底角。(P84图)

　　22.三角形的内角和是180度。

　　23.多边形的内角和=180度×(多边形的边数-2)

　　24.任意一个四边形的内角和是360度。

　　25.两个完全一样的三角形可以拼成三角形、正方形、长方形、平行四边形、和四边形。

　　26.最少用2个直角三角形可以拼成一个长方形;

　　最少用3个等边三角形可以拼成一个等腰梯形。

　　最少用2个等边三角形可以拼成一个菱形。

　　27.无论是什么形状的图形，没有重叠、没有空隙地铺在平面上，就是密铺。

　　28.把任何一个三角形的三个内角剪下来，都可以拼成一个平角。

　　29.所有的等边三角形都是锐角三角形。

　　30.有三个角的图形一定是三角形。(×)

　　31.有两个锐角的三角形一定是锐角三角形。(×)因为也有可能是直角三角形。

　　32.等腰三角形一定是锐角三角形。(×)因为等腰三角形中可能是等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形。

　　33.一个大三角形和一个小三角形的三个内角和是不相等的。(×)

　　因为三角形的内角和是180度。

　　34.一个钝角三角形里最多有两个钝角。(×)

　　因为任意一个三角形里至少有两个锐角，如果有两个钝角或两个直角，三角形的内和就大于了180度，根本拼不成三角形。

　　35.两个三角形一定能拼成一个平行四边形。(×)

　　因为必须是两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。

　　36.用两个直角三角形一定可以拼成一个长方形。(×)

　　因为必须是两个完全一样的直角三角形才能拼成一个长方形。

　　37.由三条线围成的图形叫做三角形。(×)

　　因为由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连)叫做三角形。

　　38.三角形的底越长，这条底边上的高就越短。(√)

　　39.一个三角形的每一条边的长度确定后，这个三角形的形状就再不发生变化。(√)

　　40一个三角形只有一条高。(×)因为每个三角形都有3条高。

　　41.直角三角形的两个锐角的和是90度。(√)

　　42.有一个角是60度的等腰三角形一定是正三角形。(√)

　　43.0.15时=15分(×)因为每相邻两个时间单位的进率不是100。

　　44.0.3与0.30的大小相同，但表示的意义不同，计数单位也不同。(√)

　　45.四个完全一样的正三角形可以拼成一个大三角形。(√)

三角形知识点整理5

　1全等三角形的判定

　　1、一般三角形全等的判定

　　（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。

　　（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）。

　　（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“ASA”）。

　　（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“AAS”）。

　　2、直角三角形全等的判定

　　利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等、

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）、

　　注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。

　　2与三角形有关的角

　　1、三角形的内角

　　三角形的内角和等于180。

　　2、三角形的外角

　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

　　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

　　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

　　3与三角形有关的线段

　　1、三角形的边

　　由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

　　顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

　　三角形两边的和大于第三边。

　　2、三角形的高、中线和角平分线

　　3、三角形的稳定性

　　三角形具有稳定性。

　　4相似三角形的判定方法

　　由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

　　（1）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；

　　（2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；

　　（3）如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

　　5三角形的三边关系：

　　在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

　　设三角形三边为a，b，c

　　则

　　a+b>c

　　a+c>b

　　b+c>a

　　a—b<c< div=””>

　　a—c<b< div=””>

　　b—c<a< div=””>

　　在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

　　则两直角边的平方和等于斜边平方。

　　在等边三角形中，a=b=c

　　在等腰三角形中，a，b为两腰，则a=b

　　在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2—2abcosc

　　6相似三角形

　　所谓的相似三角形，就是它们的形状相同，但大小不一样，然而只要其形状相同，不论大小怎样改变他们都相似，所以就叫做相似三角形。

　　三角对应相等，三边对应成比例的`两个三角形叫做相似三角形。

　　7相似三角形的判定方法有：

　　平行与三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，

　　如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，

　　如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似，

　　如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，

　　直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

　　直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三角形知识点整理6

　　考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小

　　考核要求：

　　(1)理解相似形的概念;

　　(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

　　考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理

　　考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

　　注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

　　考点3：相似三角形的概念

　　考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

　　考点4：相似三角形的判定和性质及其应用

　　考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

　　考点5：三角形的’重心

　　考核要求：知道重心的定义并初步应用。

　　考点6：向量的有关概念

　　考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算

　　考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算

　　二、锐角三角比

　　考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

　　考点9：解直角三角形及其应用

　　考核要求：

　　(1)理解解直角三角形的意义;

　　(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

三角形知识点整理7

　一、轴对称图形

　　1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

　　2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点

　　3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

　　4、轴对称的性质

　　①关于某直线对称的两个图形是全等形。

　　②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

　　二、线段的垂直平分线

　　1、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

　　2、线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

　　3、与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

　　三、用坐标表示轴对称小结：

　　在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数、关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等、

　　2、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

　　四、（等腰三角形）知识点回顾

　　1、等腰三角形的性质

　　①、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

　　②、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

　　2、等腰三角形的判定：

　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

　　五、（等边三角形）知识点回顾

　　1、等边三角形的性质：

　　等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。

　　2、等边三角形的判定：

　　①三个角都相等的三角形是等边三角形。

　　②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

　　3、在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

　　1、等腰三角形的性质

　　（1）等腰三角形的性质定理及推论：

　　定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

　　推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

　　推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

　　（2）等腰三角形的其他性质：

　　①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

　　②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

　　③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

　　④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

　　2、等腰三角形的判定

　　等腰三角形的判定定理及推论：

　　定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

　　推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

　　推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

　　推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

三角形知识点整理8

1三角形中的中位线

1、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

注意：重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线；⑵加倍中线；⑶添加辅助平行线。

4、证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法，

⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论，

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等，

⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法，

⑸证线段和差关系：延结法、截余法，

⑹证面积关系：将面积表示出来。

2等腰三角形知识点

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a。

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C。

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3全等三角形知识点梳理

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号”≌”表示，读作”全等于”。如△ABC≌△DEF，读作”三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成”边角边”或”SAS”）。

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成”角边角”或”ASA”）。

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成”边边边”或”SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成”斜边、直角边”或”HL”）。

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

三角形知识点整理9

　一、平行线分线段成比例定理及其推论：

　　1、定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

　　2、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

　　3、推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

　　二、相似预备定理：

　　平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

　　三、相似三角形：

　　1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

　　2、性质：（1）相似三角形的对应角相等；

　　（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

　　（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

　　说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；

　　②要注意两个图形元素的对应。

　　3、判定定理：

　　（1）两角对应相等，两三角形相似；

　　（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；

　　（3）三边对应成比例，两三角形相似；

　　（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

　　数学学习技巧

　　1、求教与自学相结合

　　在学习过程中，即要争取教师的指导和帮助，但是又不能过分依赖教师，必须自己主动地去学习、去探索、去获取，应该在自己认真学习和研究的基础上去寻求教师和同学的帮助。

　　2、学习与思考相结合

　　在学习过程中，对课本的内容要认真研究，提出疑问，追本究源。对每一个概念、公式、定理都要弄清其来龙去脉、前因后果、内在联系，以及蕴含于推导过程中的数学思想和方法。在解决问题时，要尽量采用不同的途径和方法，要克服那种死守书本、机械呆板、不知变通的学习方法。

　　3、学用结合，勤于实践

　　在学习过程中，要准确地掌握抽象概念的本质含义，了解从实际模型中抽象为理论的演变过程。对所学理论知识，要在更大范围内寻求它的具体实例，使之具体化，尽量将所学的理论知识和思维方法应用于实践。

　　4。博观约取，由博返约

　　课本是获得知识的主要来源，但不是唯一的来源。在学习过程中，除了认真研究课本以外，还要阅读有关的课外资料，来扩大知识领域。同时在广泛阅读的基础上，进行认真研究，掌握其知识结构。

　　5。既有模仿，又有创新

　　模仿是数学学习中不可缺少的学习方法，但是决不能机械地模仿，应该在消化理解的基础上，开动脑筋，提出自己的见解和看法，而不拘泥于已有的框框，不囿于现成的模式。

　　6。及时复习增强记忆

　　课堂上学习的内容，必须当天消化，要先复习，后做练习，复习工作必须经常进行，每一单元结束后，应将所学知识进行概括整理，使之系统化、深刻化。

　　7。总结学习经验，评价学习效果

　　学习中的总结和评价有利于知识体系的建立、解题规律的掌握、学习方法与态度的调整和评判能力的提高。在学习过程中，应注意总结听课、阅读和解题中的收获和体会。

　　数学什么叫和什么叫差

　　差是数学运算的一种，特指两个数的减法的结果。和是指两个及两个以上同属性的事物相加所获得的新事物，也可以狭义地理解为两个数相加所得的结果。和的产生：加数+加数=和。

三角形知识点整理10

　一、三角形的有关概念

　　1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

　　三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

　　2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高

　　(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;

　　②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

　　二、三角形的边和角

　　三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

　　由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

　　三、三角形内、外角的关系

　　1.三角形的内角和等于180°。

　　2.直角三角形的两个锐角互余。

　　3.三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的’一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

　　4.三角形的外角和为360°。

　　四、等腰三角形与直角三角形:

　　1.等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形)。

　　说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。

　　2.直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。

　　五、三角形的分类：

　　2.性质：等底等高的三角形面积相等。

三角形知识点整理11

　三角形的角

　　三角形的内角

　　三角形的内角和等于180。

　　三角形的外角

　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

　　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

　　三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

　　其实三角形按角度分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三种。

　　初中数学知识点总结：平面直角坐标系

　　下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

　　平面直角坐标系

　　平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

　　水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

　　平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

　　三个规定：

　　①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

　　②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

　　③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

　　相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

　　初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

　　对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

　　平面直角坐标系的构成

　　在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

　　通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

　　初中数学知识点：点的坐标的性质

　　下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

　　点的坐标的性质

　　建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

　　对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

　　一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

　　希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

　　初中数学知识点：因式分解的一般步骤

　　关于数学中因式分解的’一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

　　因式分解的一般步骤

　　如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

　　通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

　　相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

　　初中数学知识点：因式分解

　　下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

　　因式分解

　　因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

　　因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④

　　因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)

　　公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

　　公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

　　提取公因式步骤：

　　①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

　　分解因式注意；

　　①不准丢字母

　　②不准丢常数项注意查项数

　　③双重括号化成单括号

　　④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

　　⑤相同因式写成幂的形式

　　⑥首项负号放括号外

　　⑦括号内同类项合并。

三角形知识点整理12

第一部分：点、线、角

一、线

1、直线2、*线3、线段

二、角

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条*线所组成的图形叫做角。

另一种是一条*线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2.角的平分线

3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分;1分=60秒。

4.角的分类：(1)锐角(2)直角(3)钝角(4)平角(5)周角

5.相关的角：

(1)对顶角(2)互为补角(3)互为余角

6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

7、角的*质

(1)对顶角相等(2)同角或等角的余角相等(3)同角或等角的补角相等。

三、相交线

1、斜线2、两条直线互相垂直3、垂线，垂足

4、垂线的*质

(l)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

(2)垂线段最短。

四、距离

1、两点的距

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

五、平行线

1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

说明：也可以说两条*线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

2、平行线的判定：

(1)同位角相等，两直线平行。

(2)内错角相等，两直线平行。

(3)同旁内角互补两直线平行。

3、平行线的*质

(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

说明：要*两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用*质定理。

4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________.

5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_________________

第二部分：三角形

知识点：

一、关于三角形的一些概念

1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段(顶点与内角平分线和对边交线间的距离)

三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心)

2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)

三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心)

3.三角形的高

三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)

注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

二、三角形三条边的关系

三角形三边都不相等，叫不等边三角形;有两条边相等的叫等腰三角形;三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

三角形分类

按接边相等关系来分类：

三角形分类

推论三角形两边的差小于第三边。

不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5，6，1人因为5+6<12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。

三、三角形的内角和

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

三角形按角分类：

五、全等三角形的判定

1、边角边公理：“sas”

注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

2、角边角公理：asa3、aas4、sss

3、直角三角形全等的判定：斜边，直角边”或hl

三角形的重要*质：三角形的稳定*。

六、角的平分线

定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

可以*三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点)

七、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。(简写成“等角对等动”)。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3o°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

八、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方

三角形知识点整理13

等边三角形

⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

⑷等边三角形的重要数据

角和边的数量3

内角的大小60°

⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。(四心合一)

⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

三角形的垂心

锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。

三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。

三角形上作三高，三高必于垂心交。

高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角有十二，构成九对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清，

三角形垂心的*质

设△abc的三条高为ad、be、cf，其中d、e、f为垂足，垂心为h，角a、b、

c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.

1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

3、垂心h关于三边的对称点，均在△abc的外接圆上。

4、△abc中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且ah·hd=bh·he=ch·hf。

5、h、a、b、c四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、△abc，△abh，△bch，△ach的外接圆是等圆。

7、在非直角三角形中，过h的直线交ab、ac所在直线分别于p、q，则 ab/ap·tanb+ac/aq·tanc=tana+tanb+tanc。

8、设o，h分别为△abc的外心和垂心，则∠bao=∠hac，∠abh=∠obc，∠bco=∠hca。

9、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现)。

11、西姆松定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

12、设锐角△abc内有一点p，那么p是垂心的充分必要条件是pb*pc*bc+pb*pa*ab+pa*pc*ac=ab*bc*ca。

13、设h为非直角三角形的垂心，且d、e、f分别为h在bc，ca，ab上的*影，h1，h2，h3分别为△aef，△bdf，△cde的垂心，则△def≌△h1h2h3。

14、三角形垂心h的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

温馨提示：上面的很多三角形的垂心*质知识，希望大家都可以记在笔记中了。

解直角三角形：

勾股定理，只适用于直角三角形(外国叫毕达哥拉斯定理)a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5;6，8，10;5,12,13;10,24,26;等等.

解斜三角形：

在三角形abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c.则有(1)正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r(r为三角形外接圆半径)(2)余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosab^2=a^2+c^2-2ac*cosbc^2=a^2+b^2-2ab*cosc注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。(3)余弦定理变形公式cosa=(b^2+c^2-a^2)/2bccosb=(a^2+c^2-b^2)/2accosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

斜三角形的解法：

已知条件定理应用一般解法

一边和两角(如a、b、c)正弦定理由a+b+c=180˙，求角a，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由a+b+c=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角a、b，再利用a+b+c=180˙，求出角c在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、a)正弦定理由正弦定理求出角b，由a+b+c=180˙求出角c，在利用正弦定理求出c边，可有两解、一解或无解。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。几何语言：若△abc满足abc=90，则ab+bc=ac勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△abc满足，则abc=90。

*影定理（欧几里得定理）

内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。几何语言：若△abc满足abc=90，作bdac，则bd=addc*影定理的拓展：若△abc满足abc=90，作bdac，(1)ab=bdbc(2)ac=cdbc(3)abxac=bcxad

正弦定理

内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△abc中，sina/a=sinb/b=sinc/c=2s三角形/abc结合三角形面积公式，可以变形为a/sina=b/sinb=c/sinc=2r(r是外接圆半径)

余弦定理

内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△abc中，a=b+c-2bccosa此定理可以变形为：cosa=(b+c-a)2bc

全等三角形

s.s.s.(side-side-side)(边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

s.a.s. (side-angle-side)(边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

a.s.a. (angle-side-angle)(角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

a.a.s. (angle-angle-side)(角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

h.l.(hypotenuse-leg)(斜边、直角边)：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，该两个三角形就是全等三角形。

不同的定义推理出不同的判定方法，这就是全等三角形的特殊之处。

三角形知识点整理14

解三角形常用定理及公式

正弦定理

a/sina=b/sinb=c/sinc=2r(2r在同一个三角形中是恒量，r是此三角形外接圆的半径)。

变形公式

(1)a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc

(2)sina：sinb：sinc=a：b：c

(3)asinb=bsina，asinc=csina，bsinc=csinb

(4)sina=a/2r,sinb=b/2r,sinc=c/2r

(5)s=1/2bcsina=1/2acsinb=1/2absinc

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosa

b2=a2+c2-2accosb

c2=a2+b2-2abcosc

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式

cosc=(a2+b2-c2)/2ab

cosb=(a2+c2-b2)/2ac

cosa=(c2+b2-a2)/2bc

海伦-秦九韶公式

p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积s可由以下公式求得：

s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]高中数学基本不用。

已知三条中线求面积

方法一：已知三条中线ma,mb,mc，

则s=√[(ma+mb+mc)*(mb+mc-ma)*(mc+ma-mb)*(ma+mb-mc)]/3;

方法二：已知三边a，b，c;

则s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中：p=(a+b+c)/2;

解三角形知识点汇总

1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：

=(解三角形的重要工具)形式二：

(边化正弦)形式三：

(比的*质)形式四：

(正弦化边)

2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

形式一：

形式二：

=

3.(1)两类正弦定理解三角形的问题：

1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

(2)两类余弦定理解三角形的问题：

1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4.判断三角解时，可以利用如下原理：

5.三角形面积公式：

设+

则

在三角形中大边对大角，反之亦然.

6.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

7.解题中利用abcD中abcp++=，以及由此推得的一些基本关系式x进行三角变换的运算，如：

8.诱导公式和三角恒等变换在三角函数中总是最基础的.

经典例题

在△abc中，已知b=

，c=3，b=30°，解三角形。*:解：由余弦定理

得

，∴

，∴

，当

时，

，a=30°，c=120°;当

时，由正弦定理得sina=

，

所以a=90°，c=60°。在三角形abc中，已知，解三角形abc.

*:∵

由正弦定理可得，

∴sinc=

∵c

∴c

∴c=30°，a=90°，a=2c=2.

三角形知识点整理15

01、锐角三角函数定义

锐角角a的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角a的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sina=a/c

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosa=b/c

正切(tan)等于对边比邻边;tana=a/b

余切(cot)等于邻边比对边;cota=b/a

正割(sec)等于斜边比邻边;seca=c/b

余割(csc)等于斜边比对边。csca=c/a

02、互余角的三角函数间的关系

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.

03、平方关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

04、积的关系

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·secα

cotα=cosα·cscα

secα=tanα·cscα

cscα=secα·cotα

05、倒数关系

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

特殊角三角函数值

角度a030456090120xx0

sina01/2√2/2√3/21√3/20

cosa1√3/2√2/21/20-1/2-1

tana0√3/31√3无穷大-√30

cota/√31√3/30-√3/3/

06、锐角三角函数公式

两角和与差的三角函数：

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-cosasinb?

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)

tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)

cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)

cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)

三角和的三角函数：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

辅助角公式：

asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)

cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)

tant=b/a

asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=a/b

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

推导公式：

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0

函数名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐标系xoy中，从点o引出一条*线op，设旋转角为θ，设op=r，p点的坐标为(x，y)有

正弦函数sinθ=y/r

余弦函数cosθ=x/r

正切函数tanθ=y/x

余切函数cotθ=x/y

正割函数secθ=r/x

余割函数cscθ=r/y

正弦(sin):角α的对边比上斜边

余弦(cos):角α的邻边比上斜边

正切(tan):角α的对边比上邻边

余切(cot):角α的邻边比上对边

正割(sec):角α的斜边比上邻边

余割(csc):角α的斜边比上对边

三角函数万能公式

万能公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

*下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

*:

a+b=π-c

tan(a+b)=tan(π-c)

(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)

整理可得

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

得*

同样可以得*,当x+y+z=nπ(n∈z)时,该关系式也成立

由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下结论

(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1

(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)

(7)(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1-2cosacosbcosc

(8)(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2+2cosacosbcosc

万能公式为：

设tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)(a≠2kπ+π，k∈z)

tana=2t/(1-t^2)(a≠2kπ+π，k∈z)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)(a≠2kπ+π，且a≠kπ+(π/2)k∈z)

就是说sina.tana.cosa都可以用tan(a/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.

三角函数关系

倒数关系

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以”上弦、中切、下割;左正、右余、中间1″的正六边形为模型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数;

商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。

平方关系

在带有*影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

tan(1/2*α)=(sinα)/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

半角的正弦、余弦和正切公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα

万能公式

sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))

cosα=(1-tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))

tanα=(2tan(α/2))/(1-tan^2(α/2))

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

诱导公式

诱导公式的本质

所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinαk∈z

cos(2kπ+α)=cosαk∈z

tan(2kπ+α)=tanαk∈z

cot(2kπ+α)=cotαk∈z

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

以上就是本文的全部内容了，希望通过本文三角形知识点整理的学习，大家可以更好地掌握三角形的概念、性质和定理，理解三角形在数学中的重要性，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。