初等数论知识点整理 初等数论总复习内容

初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数及其性质。它是数学中最古老、最基本、最重要的一部分，也是其他数学分支的基础。初等数论涉及到很多知识点，包括但不限于：质数与合数、因数分解、最大公约数、最小公倍数、同余关系、欧拉函数等。本文将对初等数论知识点整理，以帮助读者更好地掌握和应用初等数论知识。

初等数论知识点整理1

整除的基本知识

定义1：

设 a,b ∈ Z , a ≠ 0，如果存在 q ∈ Z , 使得 b=aq，那么就说 b 可被 a 整除，记作 b | a，且称 b 是 a 的倍数，

a 是 b 的约数。

定理1：

a | b <=> -a | b <=> a | -b <=> |a| | |b|。

带余数除法

定理1：

设 a,b 是两个给定的整数，a ≠ 0，那么一定存在唯一的一对整数 q 与 r，满足

b = aq + r，0 ≤ r < |a|。

定理2：

设 a,b 是两个给定的整数，a ≠ 0，再设 d 是一给定的整数，那么一定存在唯一的一对整数 q 与 r，满足

b = aq + r，d ≤ r < |a|+d。

初等数论知识点整理2

定义

.整数：零，正负一，正负二……

.可整除：2可整除4，3可整除12……

.不可乘除：2不可整除3，5不可整除7……

.因数：2是4的因数，3是12的因数……

.倍数：4是2的倍数，3是12的倍数……

.商：2除4的商是2，3除12的商是4……

.显然因数：1和4是4的显然因数，1和6是6的显然因数……

.真因数：2是4的真因数，2和3是6的真因数……

.合数：4拥有一个真因数2，所以4是合数。

.素数：7没有真因数，所以7是素数。

.小因数：6的小因数是2，21的小因数是3，7没有小因数。

.余数：2除5的余数是1，3除5的余数是2……

.余商：2除5的余商是2，3除5的余商是1……

.标准分解式：6的标准分解式是2乘3，12的标准分解式是2的平方乘3……

.公因数：2是8与12的公因数

.最大公因数：4是8与12的最大公因数

.公倍数：12是2与3的公倍数

.最小公倍数：6是2与3的最小公倍数

初等数论知识点整理3

最大公约数理论

定理：

设 GCD(m,a) = 1，则有 GCD(m,ab) = GCD(m,b)，这就是说“求 m 与另一个数的最大公约数时，可以把另一个数中与 m 互素的因数去掉”。

定理：

设 GCD(m,a) = 1，那么若 m | ab，则 m | b，这就是说“若一个数被 m 整除，则把这个数中与 m 互素的因数去掉后仍被 m 整除”。

定理：

LCM[ a,b ] × GCD(a,b) = |ab|。

定理：

GCD(a,b) = GCD(a,b-a) = GCD(b,b-a)。

相关习题：戳这里?

(5)最大公约数与最小公倍数

(a,b) = a 与 b 的最大公约数。

[a,b] =  a 与 b 的最小公倍数。

定理1：

GCD(a,b) = GCD(-a,b) = GCD(a,-b) = GCD( |a| , |b| )。

定理2：

LCM[a,b] = LCM[-a,b] = LCM[a,-b] = LCM[ |a| , |b| ]。 

初等数论知识点整理4

性质：

.整除的传递性：2可整除6，6可整除12，所以2可整除12。

.整除的结合性：2可整除2，2可整除6，所以2可整除8。

.倍数的可枚举性：2的所有倍数是{0，-2，2，-4，4，-6，6，……}，有无穷个，可以一一枚举。

.因数的有限性：6的所有因数是{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}，只有有限个。

.因数的有界性：6的最大因数不超过6，21的最大因数不超过21。

.因数的一致性：-6的所有因数也是{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}。

.商的唯一性：2除6的商是唯一的，值为3。

.素数的可枚举性：所有素数是{2，3，5，7，11，……}，有无穷个，可以一一枚举。

.小因数的低半性：2比✓6小，3比✓21小……

.合数的可枚举性：所有合数是{4，6，8，9，10，12，……}，有无穷个，可以一一枚举。

.合数的可分解性：6可以分解为2乘3，12可以分解为2乘2乘3……

.余数的存在性

.余数的唯一性

.余商的存在性

.余商的唯一性

.整除的内合性：2可整除12，3可整除12，所以2乘3可整除12。

.整除的可剔性：2可整除12，2不可整除3，所以2可整除4。

.标准分解式的存在性

.标准分解式的唯一性

.最大公因数的一致性

.最小公倍数的一致性

.公倍数的倍小性：2与3的最小公倍数是6，12是2与3的公倍数，所以12是6的倍数。

.公因数的因大性：2是8与12的因数，所以2是4的因数。

.最大公因数与最小公倍数的对称性：对于4与6，2是最大公因数，12是最小公倍数，所以4乘6等于2乘12。

.最大公因数的最小性：4和6的最大公因数是2，所以2是整数函数f（x，y）＝4x+6y（x与y为整数）的最小值，此时2＝4*（-1）+6*1。

初等数论知识点整理5

(1)同余的定义及基本性质

定义1：

设 m ≠ 0，若 m | a-b，即 a-b = km，则称 m 为模，a 同余于 b 模 m ，b 是 a 对模 m 的剩余，记作

a ≡ b (mod m)；

因为 m | a-b = (-m) | a-b，所以以后总假设 m ≥ 1。

性质1：

· a+c ≡ b+c (mod m)；

· a-c ≡ b-c (mod m)；

· a*c ≡ b*c (mod m)；

性质2：

如果 ac ≡ bc (mod m) 那么 a ≡ b (mod m div GCD(m,c) )。

证明如下：

由同余定理，模运算规则如下：

(2)同余类与剩余系

定义1（同余类或剩余类）：

把全体整数分成这样的若干个两两不相交的集合，使得在同一个集合中的任意两个数对模m 一定同余；

而属于不同集合中的两个数对模m一定不同余；

每一个这样的集合称为模m的同余类或模m的剩余类；

例如：模3的同余类有

{0,3,6,…,3*k},{1,4,7,….,3*k+1},{2,5,8,…..3*k+2}

我们以 r mod m 表示 r 所属的模m的同余类；

例如上例，如果 r = 0，那么 r 所属的模m的同余类为{0,3,6,…,3*k}；

定义2（完全剩余系）：

一组数 y1,y2,…..ym 称为模 m 的完全剩余系，当且仅当对任意的整数 a 有且仅有一个 yj 使得同余式a ≡ yj (mod m)成立。

简言之，对于任意 i,j ∈ [1,m],且 i ≠ j，有 m%yi ≠ m%yj。

从模m的每个同余类中各挑一个元素组成的集合就是模m的完全剩余系。

{0,1,2,…..,m-1}是最简单的一个模m的完全剩余系；

定义3（既约（或互素）同（剩）余类）：

在模m的同余类 r mod m 中，如果GCD(r,m) == 1，就称 r mod m 为模m的既约同余类；

模m的所有既约同余类的个数记作φ(m)，通常称为Euler函数。

定义4（既约（互素）剩余系）：

模 m 的既约剩余系是 m 的完全剩余系中与 m 互素的数构成的子集；

易得，模 m 的既约剩余系中的元素的个数为 φ(m)。

例如， m = 10，m的一个完全剩余系为{0,1,2,……,9}，其中与10互素的数组成的集合为 { 1,3,7,9 } ，并且任何两个元素模 10 不同余，；{ 1,3,7,9 } 就为模 m 的一个既约剩余系，φ(10) = 4。

定理4：

设 m1 | m，那么对任意 r 有

r mod m ⊆ r mod m1;

不妨设 r < m && r < m1,m/m1=x;

那么

   s1= r mod m  = {r,r+m,…,r+km,…}

   s2= r mod m1= {r,r+m1,…,r+km1,…}

对于s1中的任意元素 r+km = r+k*x*m属于集合s2

所以集合s1包含与集合s2。

等号成立，当且仅当 m == m1。

定理4证明

定理4’：

设 m1 | m，那么对任意 r，同余式 n ≡ r(mod m1) 成立的充要条件是以下 d=m/m1 个同余式

n ≡ r + j*m1(mod m);( j∈[0,d-1])

有且仅有一个成立。

令 d = m/m1;…………………………..①

n ≡ r(mod m1)可以表示为

    n-r = x*m1;(x∈Z)…………………②

n ≡ r + j*m1(mod m)可以表示为

    n-r-j*m1 = y*m;(y∈Z)…………..③

将①②式代入③式得

    (x-j)*m1 = y*d*m1;

∵j∈[0,d-1]

∴x-j 为模d的一个完全剩余系，那么当且仅当存在一个数可以

   被d整除；

∵y∈Z；

∴当且仅当存在一个 j 使得同余式 n ≡ r + j*m1(mod m)成立

证毕。

定理4’证明

 定理6：

模m的所有不同的既约同余类是

r mod m , GCD(r,m) = 1, 1≤ r ≤ m;

φ(m)=1,2,…,m 中和m既约的数的个数。

定理7：

（1）在任意取定的 φ(m)+1 个均和 m 既约的整数中，必有两个数对模m同余。

（2）存在φ(m)个数两两对模m不同余且均和m既约。

(3)Euler函数φ(m)的求解

定理1：如果 k 为素数，那么 φ(k) = k-1

初等数论知识点整理6

初等数论

初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。

第一部分：整除

初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。

Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：

（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；

（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；

（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ(归纳原理设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。

其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：

（第二种数学归纳法）设P(n是关于自然数n的一种性质或命题。如果

（1） 当n=1时，P(1不成立；

（2） 设n>1,若对所有的自然数m<n,p(m成立，则必可推出P(n成立。

那么,P(n对所有的自然数都成立。

数学归纳法是一种非常常用的数学方法，其重要性不必多说。另外，由归纳法原理还可推出两个在数学中，特别是初等数论中常用的自然数的性质，即最小自然数原理和最大自然数原理。并且最小自然数原理是我们常用的第二数学归纳法的基础。此外，在初等数论中还经常用到的一个工具，那就是鸽巢原理，也就是同等意义下的在组合数学中的抽屉原理。

初等数论知识点整理7

集合与函数

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?

初等数论知识点整理8

导数的应用

1.用导数研究函数的最值

确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间)，求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，若左增，右减，则在该零点处，函数去极大值;若左边减少，右边增加，则该零点处函数取极小值。学习了如何用导数研究函数的最值之后，可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。

2.生活中常见的函数优化问题

1)费用、成本最省问题

2)利润、收益问题

3)面积、体积最(大)问题

初等数论知识点整理9

不等式

1.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

2.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

3.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?

4.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.

6.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.

初等数论知识点整理10

　1.归纳推理：归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有部分结论得到一般结论，破解的方法是充分考虑部分结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。

2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

不等式

对于含有参数的一元二次不等式解的讨论

1)二次项系数：如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。

2)不等式对应方程的根：如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，则根据这两个根的大小进行分类讨论，这时，两个根的大小关系就是分类标准，如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来，则根据方程的判别式进行分类讨论。通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点，例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。

初等数论知识点整理11

　一、抽象代数

群论及环域的基本概念及运算法则。

说明：抽象代数的内容最近几年越来越多，今年考试中考到了极大理想。还好小编在做REA的题目的时候碰到了高斯整环的题目，所以回去好好翻了翻书。大家要认真准备这一部分的内容。

二、线性代数

普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。

说明：Cracking the GRE Math Test这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于sub越来越难，大家还是回去翻翻其他的书吧。

三、微分方程

基本概念，各种方程的基本解法。

说明：以Cracking the GRE Math Test中的相关章节为主，一般不难。

四、新GRE数学分析

极限，连续的概念，单变量微积分(求导法则，积分法则，微商)，多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。

说明：Cracking the GRE Math Test用了两章来复习数学分析，基本够了。小编只是另外看了一些场论的公式以及Fourier分析的一点内容。不过sub中有一些数学分析方面的题目很灵活，要你判断一个命题是否正确，对于错误选项如果想不出反例来就有些麻烦了，大家要注意。

五、初等数论

欧几里得算法，同余式的相关公式，欧拉-费马定理。

说明：以Cracking the GRE Math Test相关章节为主。

六、高中知识

各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。

初等数论知识点整理12

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

初等数论知识点整理13

　1、导数的定义：在点处的导数记作.

2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率

①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。

3.常见函数的导数公式:①;②;③;

⑤;⑥;⑦;⑧。

4.导数的四则运算法则：

5.导数的应用：

(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;

注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：

①求导数;

②求方程的根;

③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;

(3)求可导函数值与最小值的步骤：

ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。

初等数论知识点整理14

一、集合、简易逻辑(14课时,8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件.

二、函数(30课时,12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例.

三、数列(12课时,5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式.

四、三角函数(46课时17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4,单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式’7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16余弦定理;17斜三角形解法举例.

五、平面向量(12课时,8个)1.向量2.向量的加法与减法3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移.

六、不等式(22课时,5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式.

七、直线和圆的方程(22课时,12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题.9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程.

八、圆锥曲线(18课时,7个)1椭圆及其标准方程;2.椭圆的简单几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质.九、(B)直线、平面、简单何体(36课时,28个)1.平面及基本性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质;5,直线和平面垂直的判与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系;8.空间向量及其加法、减法与数乘;9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积;11.直线的方向向量;12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线;14异面直线的距离;15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量;17.点到平面的距离;18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影;20.平面与平面平行的性质;21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角;23.两个平面垂直的判定和性质;24.多面体;25.棱柱;26.棱锥;27.正多面体;28.球.

十、排列、组合、二项式定理(18课时,8个)1.分类计数原理与分步计数原理.2.排列;3.排列数公式’4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两个性质;7.二项式定理;8.二项展开式的性质.

十一、概率(12课时,5个)1.随机事件的概率;2.等可能事件的概率;3.互斥事件有一个发生的概率;4.相互独立事件同时发生的概率;5.独立重复试验.选修Ⅱ(24个)

十二、概率与统计(14课时,6个)1.离散型随机变量的分布列;2.离散型随机变量的期望值和方差;3.抽样方法;4.总体分布的估计;5.正态分布;6.线性回归.

十三、极限(12课时,6个)1.数学归纳法;2.数学归纳法应用举例;3.数列的极限;4.函数的极限;5.极限的四则运算;6.函数的连续性.

十四、导数(18课时,8个)1.导数的概念;2.导数的几何意义;3.几种常见函数的导数;4.两个函数的和、差、积、商的导数;5.复合函数的导数;6.基本导数公式;7.利用导数研究函数的单调性和极值;8函数的值和最小值.

初等数论知识点整理15

1、含n个元素的有限集合其子集共有2n个，非空子集有2n—1个，非空真子集有2n—2个。

2、集合中，Cu(A∩B)=(CuA)U(CuB),交之补等于补之并。

Cu(AUB)=(CuA)∩(CuB)，并之补等于补之交。

3、ax2+bx+c<0的解集为x(0

+c>0的解集为x，cx2+bx+a>0的解集为>x或x<;ax2—bx+

4、c<0的解集为x，cx2—bx+a>0的解集为->x或x<-。

5、原命题与其逆否命题是等价命题。

原命题的逆命题与原命题的否命题也是等价命题。

6、函数是一种特殊的映射，函数与映射都可用：f:A→B表示。

A表示原像，B表示像。当f:A→B表示函数时，A表示定义域，B大于或等于其值域范围。只有一一映射的函数才具有反函数。

7、原函数与反函数的单调性一致，且都为奇函数。

偶函数和周期函数没有反函数。若f(x)与g(x)关于点(a,b)对称，则g(x)=2b-f(2a-x).

8、若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数，若f(-x)=f(x)，则f(x)为奇函数;

偶函数关于y轴对称，且对称轴两边的单调性相反;奇函数关于原点对称，且在整个定义域上的单调性一致。反之亦然。若奇函数在x=0处有意义，则f(0)=0。函数的单调性可用定义法和导数法求出。偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数。对于任意常数T(T≠0)，在定义域范围内，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期为T的周期函数，且f(x+kT)=f(x),k≠0.

9、周期函数的特征性：①f(x+a)=-f(x),是T=2a的函数，②若f(x+a)+f(x+b)=0,即f(x+a)=-f(x+b),T=2(b-a)的函数,③若f(x)既x=a关对称,又关于x=b对称,则f(x)是T=2(b-a)的函数④若f(x

+a)?f(x+b)=±1,即f(x+a)=±，则f(x)是T=2(b-a)的函数⑤f(x+a)=±,则f(x)

是T=4(b-a)的函数

10、复合函数的单调性满足“同增异减”原理。

定义域都是指函数中自变量的取值范围。

11、抽象函数主要有f(xy)=f(x)+f(y)(对数型)，f(x+y)=f(x)?f(y)(指数型)，f(x+y)=f(x)+f(y)(直线型)。

解此类抽象函数比较实用的方法是特殊值法和周期法。

12、指数函数图像的规律是：底数按逆时针增大。

对数函数与之相反.

13、ar?as=ar+s,ar÷as=ar—s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr。

在解可化为a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助于换元法，应特别注意换元后新变元的取值范围。

14、log10N=lgN;logeN=lnN(e=2.718???);对数的性质：如果a>0,a≠0,M>0N>0,

那么loga(MN)=logaM+logaN,;loga()=logaM—logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N.

换底公式：logaN=;logamlogbnlogck=logbmlogcnlogak=logcmloganlogbk.

15、函数图像的变换：

(1)水平平移：y=f(x±a)(a>0)的图像可由y=f(x)向左或向右平移a个单位得到;

(2)竖直平移：y=f(x)±b(b>0)图像，可由y=f(x)向上或向下平移b个单位得到;

(3)对称：若对于定义域内的一切x均有f(x+m)=f(x—m),则y=f(x)的图像关于直线x=m对称;y=f(x)关于(a,b)对称的函数为y!=2b—f(2a—x).

(4) ,学习计划;翻折：①y=|f(x)|是将y=f(x)位于x轴下方的部分以x轴为对称轴将期翻折到x轴上方的图像。②y=f(|x|)是将y=f(x)位于y轴左方的图像翻折到y轴的右方而成的图像。

(5)有关结论：①若f(a+x)=f(b—x),在x为一切实数上成立，则y=f(x)的图像关于

x=对称。②函数y=f(a+x)与函数y=f(b—x)的图像有关于直线x=对称。

15、等差数列中，an=a1+(n—1)d=am+(n—m)d;sn=n=na1+

16、若n+m=p+q,则am+an=ap+aq;

sk,s2k—k,s3k—2k成以k2d为公差的等差数列。an是等差数列，若ap=q,aq=p,则ap+q=0;若sp=q,sq=p,则sp+q=—(p+q);若已知sk,sn,sn—k,sn=(sk+sn+sn—k)/2k;若an是等差数列，则可设前n项和为sn=an2+bn(注：没有常数项),用方程的思想求解a,b。在等差数列中，若将其脚码成等差数列的项取出组成数列，则新的数列仍旧是等差数列。

17、等比数列中，an=a1?qn-1=am?qn-m,若n+m=p+q,则am?an=ap?aq;sn=na1(q=1),

sn=,(q≠1);若q≠1，则有=q，若q≠—1，=q;

sk,s2k—k,s3k—2k也是等比数列。a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5也成等比数列。在等比数列中，若将其脚码成等差数列的项取出组成数列，则新的数列仍旧是等比数列。裂项公式：

=—,=?(—),常用数列递推形式：叠加，叠乘，

18、弧长公式：l=|α|?r。

s扇=?lr=?|α|r2=?;当一个扇形的周长一定时(为L时)，

其面积为，其圆心角为2弧度。

19、Sina(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Sina(α—β)=sinαcosβ—cosαsinβ;

Cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ;cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ

初等数论是数学中最基础、最重要的一部分，对于其他数学分支的学习和应用都有着至关重要的作用。通过本文初等数论知识点整理的内容介绍和整理，希望读者们能够深入学习初等数论，从而打下坚实的数学基础。