圆知识点 关于圆的知识点整理

圆是数学中的一种基本图形，它由平面内所有距离某一点（圆心）相等的点组成。圆是几何中重要的概念之一，它在我们日常生活中也有广泛的应用。本文将会介绍圆的基本概念、性质以及相关的计算公式，帮助读者更好地理解和应用圆知识点。

圆知识点1

圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 

直线圆的与置位关系 

1.线直与圆有唯公一共时，点做直叫与圆线切 

2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心 

3.弦切角于所等夹弧所对的圆心角 

4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心 

5.垂于直径半直线必为圆的的切线 

6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线 

7.垂于直径半直线是圆的的切线 8.圆切线垂的直过切于点半径

圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

圆知识点2

1、圆的定义

(1)动态的概念：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，

另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆，固定的端点O

叫作圆心，线段OA叫作半径。

(2)静态的概念：平面上到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形叫作圆

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

3、弦

连接圆上任意两点的线段叫作弦。

4、直径

经过圆心的弦叫作直径，直径也是圆中最长的弦。

直径等于半径的2倍。

直径是弦，弦不一定是直径。

5、半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫作半圆。

6、弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作”圆弧AB”或”弧AB”。

大于半圆的弧叫作优弧（多用三个字母表示）；

小于半圆的弧叫作劣弧（多用两个字母表示）

7、等圆、等弧

(1)等圆：能够完全重合的两个圆，叫作等圆。半径相等的两个圆就是等圆。

(2)等弧：在同圆或等圆中，能够完成重合的两条弧叫作等弧。

圆知识点3

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心、垂直于弦、直径、平分弦、知二推三、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧

弦、弧等与圆有关的定义

1、连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2、经过圆心的弦叫做直径。

3、圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示。大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)

圆知识点4

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。

2、圆周角定理

(1)同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

3、圆内接四边形

(1)圆内接四边形：是在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形。

(2)圆内接四边形性质：

①圆内接四边形对角互补。

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

圆知识点5

圆的对称性

1、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

圆周角定理及其推论

1、顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆知识点6

圆的定义：

圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

相关定义:

1、在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

2、连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

3、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。

4、连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。

5、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6、由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7、由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8、顶点在圆心上的角叫做圆心角。

9、顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10、圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

11、圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

12、圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但不等于0。

圆的集合定义：

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

圆的字母表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。

圆—⊙;

半径—r或R(在环形圆中外环半径表示的字母);

弧—⌒;

直径—d;

扇形弧长—L;

周长—C;

面积—S。

圆知识点7

点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

位置关系     数量关系

点在圆外     d>r

点在圆上     d=r

点在圆内     d<r

过三点的圆

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

圆知识点8

圆的性质:

(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

(2)有关圆周角和圆心角的性质和定理

①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

(3)有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)。

④两相切圆的连心线过切点。(连心线：两个圆心相连的直线)

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

圆知识点9

直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系

具体如下：

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

位置关系    数量关系

相离          d>r

相切          d=r

相交          d<r

切线的判定和性质

1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理

1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圆知识点10

点、线、圆与圆的位置关系：

点和圆位置关系

①P在圆O外，则PO>r。

②P在圆O上，则PO=r。

③P在圆O内，则0≤PO。

反过来也是如此。

直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d。

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的.公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)

圆和圆位置关系

①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r;外切P=R+r;内含P

内切P=R-r;相交R-r

圆知识点11

圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

位置关系 数量关系

外离 d>R+r

外切 d=R+r

相交 R-r<d<R+r

内切 d=R-r

内含 d<R-r

 4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

圆知识点12

　1、圆的周长C=2πr=或C=πd

2、圆的面积S=πr2

3、扇形弧长L=圆心角(弧度制)×r=n°πr/180°(n为圆心角)

4、扇形面积S=nπr2/360=Lr/2(L为扇形的弧长)

5、圆的直径d=2r

6、圆锥侧面积S=πrl(l为母线长)

7、圆锥底面半径r=n°/360°L(L为母线长)(r为底面半径)

圆知识点13

　1、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3、顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4、过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

5、直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

6、两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

7、在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

圆知识点14

圆的方程:

1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2。

特别地，以原点为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2。

2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4.故有：

①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(√D2+E2-4F)/2为半径的圆;

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2);

③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，(其中θ为参数)

圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x2+y2=r2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0·x+b0·y=r2

在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。

圆知识点15

　圆–⊙ 半径r 弧–⌒ 直径d

扇形弧长/圆锥母线l 周长C 面积S三、有关圆的基本性质与定理(27个)

1、点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：

P在⊙O外，POP在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO

2、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4、在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6、直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

7、不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8、一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。

9、直线AB与圆O的位置关系(设OPAB于P，则PO是AB到圆心的距离)：

AB与⊙O相离，POAB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO

10、圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

11、圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P)：外离P外切P=R+r;相交R-r

在日常生活中，我们可以用圆的知识来解决许多实际问题，比如计算圆的周长和面积，设计圆形的建筑结构等等。希望读者通过学习本文圆知识点，能够更好地理解和掌握圆的知识，为自己的学习和工作带来帮助。