等差数列和等比数列知识点总结 等差和等比数列知识大全归纳

数学中有两个重要的数列类型：等差数列和等比数列。这两种数列都有其自身的特点和公式，对于数学学习和实际问题求解都有重要的应用。在本文中，我们将整理有关等差数列和等比数列知识点总结，帮助读者更好地理解和掌握这两种数列的知识点。

等差数列和等比数列知识点总结1

等差数列定义与性质

定义：

an+1-an=d (d为常数)，

an= a1+（n-1）d

等差中项：

x , A , y成等差数列: 2A=x+y

前n项和:

性质：{an}是等差数列

（1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;

（2）数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列，公差为n2d ;

（3）若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d ;

（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则

（5）{an}为等差数列，则Sn=an2+bn（a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）,Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界项，即：

当a1>0,d<0,解不等式组:

可得Sn达到最大值时的n值。

当a1<0,d>0,解不等式组:

可得Sn达到最小值时的n值。

（6）项数为偶数2n的等差数列{an},有

（7）项数为偶数2n-1的等差数列{an},有

性质：{an}是等比数列

(1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq

(2)  Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列，公比为qn

注意：

由Sn求an时应注意什么？

n=1时，a1=S1 ;

n≥2时，an=S1-Sn-1

等差数列和等比数列知识点总结2

等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.

⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.

⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d，特别地，当m=

1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…

(两边的自然数个数相等)，那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+….

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差).

⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为-d;在等差数列{a}中，a-a=a-a=

md.(其中m、k、)

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数.

⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=(≠-1)，则a=.

等差数列和等比数列知识点总结3

等差数列：

公式编辑

通项公式

如果一个等差数列的首项为 ，公差为 ，那么该等差数列第 项的表达式为：

即 第n项=首项 公差

补充：第n项=第m项+（n-m)乘公差

前n项和公式

注意： n是正整数（相当于n个等差中项之和）

等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：

上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.

推论

一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=…=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}

三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)

(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

等差数列和等比数列知识点总结4

等差数列前n项和公式S的基本性质

⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列{a}中，当项数为2n(nN)时，S-S=nd，=;当项数为(2n-1)(n)时，S-S=a，=

⑶若数列{a}为等差数列，则S，S-S，S-S，…仍然成等差数列，公差为.

⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=.

⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b(n>m)，则S=(a-b).

⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点(n，)均在直线y=x+(a-)上.

⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0，公差d<0，则当a≥0且a≤0时，S最大;②若a<0，公差d>0，则当a≤0且a≥0时，S最小.

等差数列和等比数列知识点总结5

① 和=（首项+末项）×项数÷2

(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

证明原理见高斯算法

项数=（末项-首项）÷公差+1

(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

② 首项=2和÷项数-首项或末项-公差×（项数-1）

③ 末项=2和÷项数-首项

(以上2项为第一个推论的转换)

④ 末项=首项+（项数-1）×公差

(上一项为第二个推论的转换)

推论3证明

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得，

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又因为

m+n=p+q ;

a(1),d均为常数

所以

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)

注：1.常数列不一定成立

2.m,p,q,n属于自然数

⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

等差数列和等比数列知识点总结6

等比数列前n项和公式S的基本性质

⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=

1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.

⑵当已知a，q，n时，用公式S=;当已知a，q，a时，用公式S=.

⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S+qS.⑵

⑷若数列{a}为等比数列，则S，S-S，S-S，…仍然成等比数列.

⑸若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S

，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列.

等差数列和等比数列知识点总结7

1.等比数列的有关概念

(1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q为非零常数).

(2)等比中项：

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.

2.等比数列的有关公式

(1)通项公式：an=a1qn-1.

3.等比数列{an}的常用性质

(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.

特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….

(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.

4.等比数列的’特征

(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.

(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

5.等比数列的前n项和Sn

(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.

等差数列和等比数列知识点总结8

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

    例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。

    等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。

等差数列和等比数列知识点总结9

　1.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式

an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3.等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比数列性质

(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

等差数列和等比数列知识点总结10

  等差数列公式：

    等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 

    前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2

    从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.

等差数列和等比数列知识点总结11

等比数列求和公式

q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1时，Sn=na1

(a1为首项,an为第n项,d为公差,q为等比)

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1时，{an}为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列求和公式推导

Sn=a1+a2+a3+…+an(公比为q)

qSn=a1q + a2q + a3q +…+ anq = a2+ a3+ a4+…+ an+ a(n+1)

Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

a(n+1)=a1qn

Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

等差数列和等比数列知识点总结12

等比数列公式：

   （1）等比数列的通项公式是：

       An=A1×q^（n－1）

     若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

   （2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

   （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

      a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

   （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

     (5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+…….+an

       ①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

       ②当q=1时， Sn=n×a1（q=1）

       记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

等差数列和等比数列知识点总结13

　1.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G²=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式

an=a1*q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3.等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比数列性质

(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar²，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

等差数列和等比数列知识点总结14

等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。     

1：等比数列通项公式：an=a1*q^（n－1）；    推广式： an=am·q^(n－m)；

  2： 等比数列求和公式：等比求和：Sn=a1+a2+a3+…….+an  

①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)  

②当q=1时， Sn=n×a1（q=1）   记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1  

3：等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

4：性质：   

①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；   

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.   

  例题：设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an  

证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则   ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)  

所以：   ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，   故：ak*al=am*an  

说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：   a(1+k)·a(n-k)=a1·an  

对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：   a(1+k)+a(n-k)=a1+an

等差数列和等比数列知识点总结15

1、ac=b2是a，b，c成等比数列的( )

A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2a+b2、已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则等于( ) 2c+d

111A.1 B. C. D. 248

3、已知{an}是等比数列，且an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，那么a3+a5 的值是( )

A.5 B.6 C.7 D.25

4、在等比数列{an}中，已知a1=，a4=3，则该数列前5项的积为( ) 9

A.±1 B.3 C.1 D.±3

5、DABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角形的形状是( )

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

综上所述，等差数列和等比数列是数学中非常重要的概念。希望本文等差数列和等比数列知识点总结的内容能够帮助读者更好地掌握等差数列和等比数列的知识点，为数学学习和实际应用打下坚实的基础。