高中数学导数公式大全总结及运算法则讲解资料整理

高中数学中，导数是微积分的重要概念之一。导数可以被理解为函数在某一点上的变化率，或者说函数曲线在某一点处的切线斜率。它描述了函数图像的变化速度，因此对于理解函数的特性、研究函数的增减性和凸凹性等都非常重要。下面是小编整理的高中数学导数公式大全总结，仅供大家参考。

文章目录

高中数学导数公式大全总结

高中数学导数公式及运算法则讲解

高中数学导数题型归纳总结大全及答案

高中数学导数易错题大汇总

高中数学导数高考真题

高中数学导数公式大全总结

高中导数知识点归纳

一、基本概念

1. 导数的定义：

设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。

在点处的导数记作

2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

3．基本常见函数的导数:

①（C为常数） ②③; ④;

⑤ ⑥;

⑦; ⑧.

二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：。

2.复合函数的导数

形如的函数称为复合函数。法则： .

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数在某个区间可导，

如果，则在此区间上为增函数；

如果，则在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有，则为常函数。

2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。函数求函数的一般步骤：求函数的导数，令导数解出方程的跟在区间列出的表格，求出极值及的值; 比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、例题插播

例1：函数已知时取得极值，则= ( )

A．2 B．3 C．4 D．5

[解析]：∵，又时取得极值∴则=5

例2. 已知函数的图像过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.

答案：（Ⅰ）解析式是 （Ⅱ）在内是减函数，在内是增函数.

高中数学导数公式及运算法则讲解

1.y=c(c为常数) y’=0

2.y=x^n y’=nx^(n-1)

3.y=a^x y’=a^xlna

y=e^x y’=e^x

4.y=logax y’=logae/x

y=lnx y’=1/x

5.y=sinx y’=cosx

6.y=cosx y’=-sinx

7.y=tanx y’=1/cos^2x

8.y=cotx y’=-1/sin^2x

加(减)法则:[f(x) g(x)]’=f(x)’ g(x)’

乘法法则:[f(x)*g(x)]’=f(x)’*g(x) g(x)’*f(x)

除法法则:[f(x)/g(x)]’=[f(x)’*g(x)-g(x)’*f(x)]/g(x)^2

数学导数运算法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

1、求导的线性:对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二 一乘二导(即②式)。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

导数的计算方法

函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

拓展阅读：高一数学必修3知识点

算法

1、算法概念：

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

2、算法的特征

①有限性：算法中的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。

③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤， 前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。

④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。

⑤普通性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算其计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。

概率

(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件

(2)若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，称事件A与事件B互斥;

(3)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事

件，称事件A与事件B互为对立事件;

概率加法公式：当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

高一数学学习方法

1、读好课本

同学们应从高一开始，增强自己从课本入手进行研究的意识。同学们可以把每条定理、每道例题都当做习题，认真地重证、重解，并适当加些批注。要通过对典型例题的讲解分析，归纳出解决这类问题的数学思想和方法，并做好解题后的反思，总结出解题的一般规律和特殊规律，以便推广和灵活运用。另外，同学们要尽可能独立解题，因为求解过程，也是培养分析问题和解决问题能力的一个过程，更是一个研究过程。

2、记好笔记

要学好数学，培养好的听课习惯也很重要。同学们在听课的时候要集中注意力，把老师讲的关键性部分听懂、听会。听的时候要注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地有目的性地记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。

3、做好作业

在课堂、课外练习中，培养良好的作业习惯也很有必要。同学们在做作业时，不但要做得整齐、清洁，培养一种美感，还要有条理，这是培养逻辑能力的一条有效途径。作业应独立完成，这样可以培养独立思考的能力和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率，应该十分钟完成的作业，不拖到半小时完成，拖沓的做作业习惯容易使思维松散、精力不集中，这对培养数学能力是有害而无益的。

不会总结的同学，他的能力就不会提高，挫折经验是成功的基石。要学好数学，同学们就应该经常做好总结，把握规律。通过与老师、同学平时的接触交流，可以逐步总结出一般性的学习步骤，包括：制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面，简单概括为四个环节(预习、上课、整理、作业)和一个步骤(复习总结)。每一个环节都有较深刻的内容，带有较强的目的性、针对性，要落实到位。应坚持“两先两后一小结”(先预习后听课，先复习后做作业，写好每个单元的总结)的学习习惯。

高中数学导数题型归纳总结大全及答案

高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧！

解题技巧

在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，下面为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分， 轻松拿下140+！

1 导数单调性、极值、最值的直接应用

2 交点与根的分布

3 不等式证明（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

4 不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

5 函数与导数性质的综合运用

6 导数应用题

7 导数结合三角函数

高中数学导数易错题大汇总

函数与导数

学校: 姓名： 班级： 考号：

一、选择题

1．设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

2．定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设， ，，则大小关系是（ ）

A． B． C． D．

3．若函数在定义域上为奇函数，则（ ）

A． B. C. D.

4．设是方程的两个实根，则的最小值是

A、 B、 C、 D、不存在

二、填空题

5．函数是 函数。（填“奇”、“偶”）

6．函数 的导数为 。

7．已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　

8．函数y=的单调增区间是

三、解答题

9．在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/h）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距d成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为（单位：m）且当车速为50（km/h）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？(车流量=)

10．已知函数(其中) ,点从左到右依次是函数图象上三点,且.

(1)证明: 函数在上是减函数；

(2)求证：⊿是钝角三角形;

(3)试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．

11．已知，讨论函数的极值点的个数

12．已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.

13．已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？

14．是否存在这样的实数k，使得关于x的方程²+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

15．已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：

（1）f(x)为奇函数；

（2）f(x)在(－1，1)上单调递减.

16．判断函数的奇偶性.

17．已知二次函数满足，且对一切实数恒成立. 求；

求的解析式；

求证：

18．根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知是二次函数，若，求.

（2）已知，求

（3）若满足求．

19．已知，求函数的解析式

20．是否存在实数a使函数在上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。

21．已知函数，

（Ⅰ）求的单调区间和值域；

（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在使得成立，求的取值范围。

22．试判断函数的单调性并给出证明。

23．已知函数

（1）如果函数的定义域为R求实数m的取值范围。

（2）如果函数的值域为R求实数m的取值范围。

24．求函数，的值域．

25．已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域．

参考答案

1．D

【解析】

【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是没有注意是单调减函数。

【正解】由即可得

即恒成立，由，解得。

【点评】指数大小比较，当底数大于1时，指数越大，幂越大；当底数小于1大于0时，指数越小，幂越大当底数为负数时，要把负数提到外面，再比较大小。

2．D

【解析】

【错解分析】此题常见错误A、B，错误原因对这样的条件认识不充分，忽略了函数的周期性。

【正解】解：由条件f（x+1）=-f（x），可以得： f（x+2）=f（（x+1）+1）=-f（x+1）=f（x），所以f（x）是个周期函数．周期为2．又因为f（x）是偶函数，所以图象在[0，1]上是减函数． a=f（3）=f（1+2）=f（1），b=f（）=f（-2）

=f（2-）=f（2）=f（0）

所以a＜b＜c故选D

【点评】由可得，是周期为2 的函数。利用周期性和奇偶性将转化为[-1，0]的函数值，再利用单调性比较.

3．C

【解析】

【错解分析】此题容易错选为A，错误原因是直接利用了，万万不可。

【正解】利用定义：，

化简得

因为

所以

，故选C

【点评】对于一个函数在定义域范围内关于原点（0，0）对称、对任意的x都满足，解题时一定要注意奇函数性质成立的条件必须是在定义域范围内，同时本题的计算有点复杂，要注意把看做一个整体求解。

4．B

【解析】

【错解分析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：

故选A

【正解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：

原方程有两个实根，∴

当时，的最小值是8；

当时，的最小值是18。

故选B。

【点评】有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

5．奇

【解析】

【错解分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。

【正解】由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。

【点评】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

6．

【解析】

【错解分析】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。

【正解】

【点评】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。

7．1＜＜2

【解析】

【错解分析】∵是由，复合而成，又＞0

∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，

∴＞1

【正解】∵是由，复合而成，又＞0

∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，

∴＞1

又由于在[0，1]上时有意义，又是减函数，

∴＝1时，取最小值是＞0即可，∴＜2

综上可知所求的取值范围是1＜＜2

【点评】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.

8．

【解析】

【错解分析】因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是

【正解】y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是

【点评】在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.

9．

【解析】

【错解分析】，将，代入得，

∴，又将代入得，

由题意得（）将Q==（）

∵

∴当且仅当时，

综上所知，（km/h）时，车流量Q取得最大值.

【正解】（1）依题意，

则

显然当时，Q是关于的增函数，

∴当时，

当时，Q==

当且仅当时，上式等号成立.

综上所述，当且仅当时，车流量Q取得最大值.

【点评】在行驶过程中车速有可能低于25（km/h），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.

10．(1)见解析(2) 见解析(3) ⊿不可能为等腰三角形

【解析】

【错解分析】函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想

【正解】

(Ⅰ)

所以函数在上是单调减函数.

(Ⅱ) 证明:据题意且x₁<x₂<x₃,

由(Ⅰ)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃), x₂=

即⊿是钝角三角形

(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，则只能是

即

即

①而事实上, ②

由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以⊿不可能为等腰三角形

【点评】函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

11．当无极值点

【解析】

【错解分析】利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解．

【正解】令=0得．

（1）当即<0或>4时

有两个不同的实根,，

不妨设<，则，

易判断在和两侧的符号都相反，即此时有两个极值点．

（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根，于是，故在的两侧均有>0，因此无极值．

（3）当△<0即0<<4时无实数根，

即，

故为增函数，此时无极值．

综上所述：当无极值点．

【点评】此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即：设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化

12．或

【解析】

【错解分析】，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.

【正解】设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率

，又，。①

点在曲线上，②，

②代入①得

化简，得，

或.

若，则，过点的切线方程为；

若，则，过点的切线方程为

过点的曲线的切线方程为或

【点评】导数的几何意义是曲线数在某点处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p（x₀，y₀）的切线方程时，一要注意p（x₀，y₀）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条

13．不可导

【解析】

【错解分析】。

【正解】

∴ f(x)在x=1处不可导.

【点评】函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.

14．不存在

【解析】

【错解分析】令那么由条件得到

即此不等式无解即不存在满足条件的k值.

【正解】令那么由条件得到

即

此不等式无解即不存在满足条件的k值.

【点评】方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.

15．见解析

【解析】

【错解分析】本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.

【正解】(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.

∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.

(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.

令0<x₁<x₂<1,则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)＋f(－x₁)=f()

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，

∴>0,又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0

∴x₂－x₁<1－x₂x₁,∴0<<1,

由题意知f()<0，即f(x₂)<f(x₁).

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上为减函数.

【点评】对于抽象函数函数性质的讨论、计算和证明，解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的

16．既不是奇函数也不是偶函数

【解析】

【错解分析】∵＝

∴

∴是偶函数

【正解】有意义时必须满足

即函数的定义域是｛｜｝，

由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数

【点评】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.

17．

见解析

【解析】

【错解分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。

【正解】（1）由已知令得：

（2）令由得：即则对任意实数恒成立就是 对任意实数恒成立，即：

则

（3）由（2）知 故

故原不等式成立．

【点评】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。

18．（1）＝

（2）＝　　（）

（3）＝

【解析】

【错解分析】抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件（如：定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图象特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是与大学的一个衔接点。因无具体解析式，理解研究起来往往很困难。但利用函数模型往往能帮我们理清题意，寻找解题思路，从而方便快捷的解决问题。

【正解】（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设＝由于得，

又由，

∴

即　

，＝

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设

∴＝　　（）

（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解

用代可得：与　

联列可消去得：＝.

【点评】求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.

19．

【解析】

【错解分析】由已知得

即，

∴

【正解】因为的反函数为＝，

所以＝

＝

【点评】将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.

20．存在实数a>1使得函数在上是增函数

【解析】

【错解分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。

【正解】函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法

（1）当a>1时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有解得a>1。

（2）当a<1时若使在上是增函数，则在上是减函数且大于零。不等式组无解。

综上所述存在实数a>1使得函数在上是增函数

【点评】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。

21．（Ⅰ）的单调递减区间为，的单调递增区间为，

的值域为[-4，-3]

（Ⅱ）

【解析】

【错解分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不

等式的运算能力。第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间上的值域

是函数的值域的子集，从而转化为求解函数在区间上的值域。

【正解】(Ⅰ) ，令解得或,在，所以为单调递减函数；在，所以为单调递增函数；又，即的值域为[-4，-3]，所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).

（Ⅱ）∵,又，当时，，

因此，当时，为减函数，从而当时，有.

又，即当时，有，

任给，有，存在使得，

则又，所以的取值范围是。

【点评】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，单调区间的求解过程，已知 （1）分析的定义域； （2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

22．在和上单调递增，在和上单调递减。

【解析】

【错解分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，一旦忽略定义域优先的原则，就很容易出错。

【正解】因为即函数为奇函数，

所以只需判断函数在上的单调性即可。

设 ，

由于

故当 时，此时函数在上增函数，

同理可证函数在上为减函数。

又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。

综上所述：函数在和上分别为增函数，在和上分别为减函数.

【点评】证明或判断函数的单调性要从定义出发，应注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，

23．（1）或

（2）

【解析】

【错解分析】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。

【正解】（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值恒成立，

令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值范围为或。

（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。

【点评】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。

24．

【解析】

【错解分析】又，

的值域是

【正解】配方，得

∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，

的值域是

【点评】对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.

25．[－1，0]

【解析】

【错解分析】由于函数的定义域为[0，1]，即，∴的定义域是[1，2]

【正解】由于函数的定义域为[0，1]，即

∴满足

，，

∴的定义域是[－1，0]

【点评】对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.

高中数学导数高考真题

题401：XX省峨山彝族自治县第一中学20xx届高三2月份月考理科

已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．

（1）若在区间上的最大值为，求的值；

（2）当时，判断方程是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．

题402：20xx年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷-（理六）

已知（1）求的单调区间；

（2）设，为函数的两个零点，求证：题403：XX省实验中学20xx届高三上学期第六次月考数学（文）

已知函数（1）讨论函数在上的单调性；

（2）证明：且题404：西北师大附中20xx届高三校内第二次诊断考试试题数学(理科)

已知函数 (1)求函数的单调区间;

(2)若对定义域内的任意恒成立,XX数的取值X围;

(3)证明:对于任意正整数不等式恒成立.

题405：XX一中20xx-20xx学年度高三年级第五次月考数学（理）试

已知函数（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求的取值X围.

题406：XXXX第一中学20xx届高三上学期期末考试数学（理）

已知函数（1）若函数的最小值为，求的值；

（2）证明：题407：20xx—20xx学年度衡中七调理科数学

已知函数，函数（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在区间内恒成立，XX数的取值X围

（3）若，求证不等式题408：XX省皖西高中教学联盟20xx届三上学期期末质量检测数学文

已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意，都有恒成立，XX数的取值X围

题409：XX省池州市20xx届高三上学期期末考试数学（理）

已知函数在内有极值

（1）XX数的取值X围；

（2）若，且时，求证：题410：XX省池州市20xx届高三上学期期末考试数学（文）

已知函数（1）若，求的单调增区间；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值X围

题411：XX省枣庄市第八中学东校区20xx届高三1月月考数学（理）

已知函数，.

（1）若曲线在处的切线方程为，XX数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，XX数的取值X围；

（3）若在上存在一点，使得成立，XX数的取值X围.

题412：20xx年XX省高三教学质量检测试题（一）

设函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任何，恒成立，求的取值X围.

题413：XX省XX市20xx届高三第一次（2月）模拟考试数学（理）

已知函数（1）若，讨论函数的单调性；

（2）曲线与直线交于，两点，其中，若直线斜率为，求证：题414：XX省XX市20xx届高三第一次（2月）模拟考试数学（文）

已知函数（1）求函数在点处的切线方程；

（2）在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上，若存在，求出这两点坐标；若不存在，请说明理由

题415：XXXX市20xx—20xx学年度上期期末高高三抽测调研（文）

已知函数，其中是自然对数的底数

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，，XX数的取值X围；

题416：XXXX市20xx—20xx学年度上期期末高高三抽测调研（理）

已知函数（1）当时，取得极值，求的值；

（2）当函数有两个极值点，且时，总有成立，求的取值X围

题417：XXXX市第二中学20xx届高三1月月考（期末）数学（文）

已知函数（1）若，求函数的最小值；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值X围

题418：XX省XX市王杰中学20xx届高三12月月考数学试题

已知函数（1）当时，求在的最大值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若在定义域内恒成立，XX数的取值集合

题419：XXXX市20xx届高三上学期期末考试数学（理）

已知函数（1）若函数图象有两个不同的公共点，XX数的取值X围；

（2）若，，XX数的最大值

题420：XX省20xx届高三中学生标准学术能力诊断性测试（2月） 数学（文）

设函数（1）求函数的单调增区间；

（2）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由

题421：XX省XX市城阳区20xx届高三上学期学分认定考试（期末）数学（理）

已知（1）分析判断函数在定义域上的单调性情况；

（2）若，证明：方程在区间上没有零根．(其中为

自然对数的底数)

解：题422：20xx年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷数学-（理八）

已知函数（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，不等式恒成立，XX数的取值X围

题423：20xx年XX省高考信息优化卷（二）

已知函数（1）求证：；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且题423：20xx年XX省高考信息优化卷（三）

已知（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若恒成立，求的取值X围

题424：20xx年XX省高考信息优化卷（五）

设，正项数列满足，证明：

（1）（2）对于任意，都有题425：XX省XX市20xx届高三毕业班教学质量检测数学（理）

已知函数（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）当时，函数恒成立，XX数的取值X围

题426：XX省XX一中、应城一中等五校20xx-20xx学年高三上学期期末联考高三数学（理）

已知函数的图象在点处的切线方程为（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若存在，满足，求的取值X围

题427：XX省XX一中、应城一中等五校20xx-20xx学年高三上学期期末联考高三数学（文）

已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意的恒成立，求的取值X围

题428：XX省XX市第一中学校20xx届高三第七次考试数学（理）

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）是否存在实数，使得当时，函数的最大值为？若存在，取实数的取值X围，若不存在，请说明理由

题429：皖东县中联盟20xx-20xx学年第一学期高三期末联考（理）/XX省XX市XX师大附中20xx级20xx-20xx学年冬季学习竞赛中期检测数学理

已知函数（1）讨论函数与函数的零点情况；

（2）若对任意恒成立，XX数的取值X围

解：令题430：XX省XX高级中学20xx届高三1月检测考试（12）

已知函数，若成立，则的最小值为（ ）

题431：XX省天一大联考20xx届高三阶段性测试（三）（12）

已知函数，若，，则的取值X围（）

题432：XX省天一大联考20xx届高三阶段性测试（三）（21）

已知函数（1）探究函数的单调性；

（2）若在上恒成立，XX数的取值X围

题433：市东城区20xx届高三上学期期末考试数学（理）

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求的最小值.

题434：荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟20xx届高三联考2月文科数学试

已知函数（1）若有两个零点，求的取值X围；

（2）若有两个极值点，求的取值X围；

（3）在（2）的条件下，若的两个极值点为，求证：题435：XX省四地七校20xx年2月高三联考试卷 理科数学

已知为正的常数，函数（1）若，求函数的单调递增区间；

（2）设，求在区间上的最小值（为自然对数的底数）

题436：XX省双鸭山市第一中学20xx届高三上学期期末考试数学（文）

已知函数（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.

题437：XX省鸡泽县第一中学高三理科数学押题1

已知函数（a是常数），

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数有零点，求a的取值X围。

题438：XX省鸡泽县第一中学高三理科数学押题1

设函数，

（1）求证：；

（2）当时，恒成立，求的取值X围．

题439：XX省XX市八校20xx届高三上学期期末考试数学（理）

已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，曲线与轴交于点，证明：题440：XX省XX市八校20xx届高三上学期期末考试数学（文）

已知函数，其中为常数且（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，曲线，若存在，使得成立，XX数的取值X围

题441：XX师大附中、XX一中20xx届高三联考理

已知函数（1）若曲线在处的切线方程为，XX数的取值X围；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，XX数的取值X围

（3）若在上存在一点，使得成立，XX数的取值X围

题442：20xx年XX省XX市高中毕业班综合测试（一）理

已知函数（1）若函数有零点，XX数的取值X围；

（2）证明：当时，题443：2XX省XX市20xx届高中毕业班第一次诊断检测理

已知函数（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若存在时，使不等式成立，求的最小值

题444：XX省八校20xx届高三第二次联考理

设函数，且，其中为的导函数（1）当时，求的极大值点；

（2）讨论函数的零点个数

题445：XX第一中学20xx届高三第五次适应性考试理

已知函数在处取得极值

（1）求的单调区间；

（2）若关于的方程在区间上有两个不等实根，XX数的取值X围；

（3）对于，求证：题446：XX省江南十校20xx届高三联考理

已知函数与的图象关于直线对称

（1）若且函数有两个零点，求正实数的取值X围；

（2）若，证明：题447：XXXX市20xx届高三高考诊断性测试理

已知函数（1）若曲线在处的切线与曲线也相切，XX数的值；

（2）求函数在的最小值；

（3）证明：对任意的，都有题448：XXXX市20xx届高三第一次模拟考试理

已知函数（1）证明：函数在上单调递增；

（2）若，求的取值X围

题449：XX省实验中学20xx届高三联考第六期理

已知函数在处的切线与直线垂直

（1）求函数为的导函数的单调区间；

（2）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，XX数的最大值

题450：XX市20xx届高三第一次诊断模拟理

已知函数有两个不同的零点（1）求的最值；

（2）证明：题451：XX省XX市20xx届高三统一模拟考试（理）

已知函数，为实数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在上存在极值点，且极值大于，求的取值X围

题452：20xx年XX省XX市高三数学质量检测（一）理

已知函数（1）当时，求证：（2）当时，若不等式恒成立，XX数的取值X围；

（3）若，证明：题453：XX省重点中学协作体20xx届高三第一次联考数学理

若，总有，则称为与上的一个“严格分界函数”

（1）求证：是函数和在上的一个“严格分界函数”；

（2）函数，若存在最大整数使得在上恒成立，求的值（是自然对数的底数）

题454：XX师X大学附属中学20xx届高三期末数学理

函数（1）若对，不等式恒成立，XX数的取值X围；

（2）当时，求证：题455：XXXX市20xx年高三第一次教学质量检查数学理

已知函数为自然对数的底数，是的导函数

（1）当时，求证：（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由

题456：20xx年XX省第一次高考诊断考试理

已知函数（1）求函数的单调区间；

（2）若方程在内有解，XX数的取值X围

题457：20xx年XX省XX市高中毕业班质量检测数学理

已知函数（1）若直线与曲线恒切于同一定点，求的方程；

（2）当时，，XX数的取值X围

题458：XX长郡中学20xx届高三第一次模拟理

已知函数在定义域内有两个不同的极值点

（1）XX数的取值X围

（2）记两个极值点，且 已知，若不等式恒成立，求的取值X围

题459：20xx年XX省高考考前适应性测试理

已知函数（1）若函数为减函数，求的取值X围；

（2）若恒成立，证明：题460：XX省XX市20xx届高三复习教学质量检测（一）

已知函数，为自然对数的底数，且在点处的切线方程为（1）XX数的值；

（2）若，求证：题461：XX自治区20xx届高三教育质量诊断性联合考试数学理

已知函数，，其中为常数

（1）若是函数的一个极值点，求曲线在的切线方程；

（2）若函数有个零点，有个零点，求的取值X围

题462：XX省XX市20xx年高中毕业年级第一次质量检测数学理

设函数（1）若当时，函数的图象恒在直线的上方，XX数的取值X围；

（1）求证：题463：20xx年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）

已知函数有两个零点

（1）当时，求的最小值；

（2）求的取值X围；

（3）设是的两个零点，证明：题464：XXXX20xx届高三教学质量检测（一）数学理

设函数其中是自然对数的底数

（1）求证：函数有两个极值点；

（2）若，求证：函数有唯一零点

题465：XX省实验中学20xx届高三第四次诊断数学理

已知函数其中函数的图象在点处的切线平行于轴

（1）确定与的关系；

（2）若，试讨论函数的单调性；

（3）设斜率为的直线于函数的图象交于两点，证明：题466：XX五中20xx届阶段性练习数学理

已知函数，其中的常数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有题467：XX师X大学附属中学20xx届高三高考适应性月考（五）

已知函数（1）若曲线在点处的切线斜率为，求函数在上的最值；

（2）令，若时，恒成立，XX数的取值X围；

（3）当且时，证明：题468：XX市20xx届高中毕业班第二次调研测试数学理

设函数，已知曲线在点处的切线与直线垂直

（1）XX数的值；

（2）若对任意，都有，XX数的取值X围

题469：20xxXX省XX市高三考试二模（理）

已知函数（1）若，求函数的单调递增区间；

（2）若，，证明：题470：XX省20xx年省级名校联考（一）（理）

设（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求函数的零点

题471：XX省华南师X大学附中，执信中学，XX外国语学校20xx届高三联考理

设函数，且存在两个极值点，（1）XX数的取值X围；

（2）求的最小值；

（3）证明不等式：题472：XX省20xx届高三十三校联考第一次考试理

已知函数（1）当时，试求函数的图象在点处的切线方程；

（2）当时候，若关于的方程有唯一实数解，试XX数的取值X围；

（3）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试XX数的取值X围

题473：齐鲁名校教科研协作体XX省部分中点中学20xx届高三第一次调研联考理

设函数是自然对数的底数（1）若，求的单调区间；

（2）若在内无极值，求的取值X围

（3）设，，求证：注：题474：XX省黄冈市20xx届高三质量检测数学理

已知函数（1）若，恒有成立，XX数的取值X围；

（2）若函数有两个极值点，求证：题475：XX七中20xx届一诊模拟考试理

已知函数，其中（函数与的图象关于直线对称）

（1）若函数在区间上递增，求的取值X围；

（2）证明：（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小整数的值

题476：XX市铁一中学20xx届高三第五次模拟理

已知函数，其中常数（1）讨论在上的单调性；

（2）当时，若曲线上总存在相异两点，使曲线在两点处的切线互相平行，试求的取值X围

题477：XX省XX市20xx年第二次高考模拟统一考试数学理

已知函数（1）若直线与曲线均相切于同一点，XX数的值；

（2）当时，用表示中的两数中的最小值，设求的表达式；

若的最大值为，求的取值X围

题478：XX中学20xx届全国高三大联考数学理科

已知函数，是自然对数的底数（1）若曲线在点处的切线斜率为，且有极小值，XX数的取值X围；

（2）当时，证明：题479：XXXX市20xx届高中毕业生调研考试理科

（1）求函数在上的最大值；

（2）证明：不等式在上恒成立

题480：20xx年XX省高中毕业班考试适应性测试理

已知函数（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若时，均有成立，XX数的取值X围

题481：XX省XX市20xx届高三第一次模拟考试数学（理）、

已知函数（1）若函数在上是减函数，XX数的取值X围；

（2）若函数在存在两个极值点，且，证明：题482：XX省XX市20xx届高三第一次模拟考试数学（文）

已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求的取值X围

题483：XX省XX市柯桥区20xx届高三上学期期末教学质量检测数学

已知是实数，函数（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：存在，使得题484：XX省XX市柯桥区20xx届高三上学期期末教学质量检测数学

已知数列满足：，证明：当时

（1）（2）（3）题485：XX省赣榆县海头高级中学20xx届高三上学期第二次月考数学（文）

已知函数，且对任意，有.

（1）求；

（2）已知在区间上为单调函数，XX数的取值X围；

（3）讨论函数的零点个数？(提示：)

题486：XX省XX市第一中学20xx届高三第五次月考数学文

已知函数为常数，为自然对数的底数，曲线在与轴的交点处的切线斜率为（1）求的值及函数的单调区间；

（2）证明：当时，（3）证明：当时，题487：XX省XX市十校20xx届高三上学期期末联考数学试题

已知函数（1）若在区间上单调递减，求的取值X围；

（2）求证：在上任取一个值，不等式恒成立是自然对数的底数题488：XX省XX市十校20xx届高三上学期期末联考数学试题

已知数列满足，记，设数列的前项和，求证：当时，

（1）（2）（3）题489：XX省都匀第一中学20xx届高三第十次月考数学（文）

已知函数（1）求函数的单调区间和极值；

（2）当时，，XX数的取值X围

题490：XX省滨州行知中学20xx届高三上学期期末考试数学（理）

已知（1）当时，求的极值；

（2）若有个不同零点，求的取值X围；

（3）对，求证：题491：XX省赣榆县海头高级中学20xx届高三上学期第二次月考数学（理）

已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）设为的导函数，若函数，存在零点，XX数的取值X围；

（3）设，求证：函数，在上有唯一零点.

题492：XX省XX县20xx届高三2月联考数学（文）

设函数（1）讨论函数的单调性；

（2）当有极值时，若存在，使得成立，XX数的取值X围

题493：XX省XX县20xx届高三2月联考数学（理）

已知函数（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上为单调增函数

求的最大整数值；

证明；题494：XX省闽侯第六中学20xx届高三上学期期末考市（理）

已知函数有两个零点（1）求的取值X围；

（2）是否存在实数，对于符合题意的任意，当时均有？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由

题495：XX省天一大联考20xx届高三阶段性测试（三）文

已知函数（1）若，讨论函数的单调性；

（2）若函数在上恒成立，XX数的取值X围

题496：XX省襄阳市第五中学20xx届高三第一次适应性考试数学理

设函数（1）若函数的图象与直线相切，求的值；

（2）当时，求证：题497：XX省XX市20xx届高三上学期期末考试数学（文）试题

已知函数（1）若曲线在处的切线经过，求的值；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求的值

题498：XX省XX市20xx届高三上学期期末考试数学文试题

已知在点处的切线方程为（1）求的值；

（2）设，比较与的大小

题499：XX省XX市20xx届高三上学期期末考试数学理试题

已知函数有极小值

（1）XX数的取值X围；

（2）若函数在时有唯一零点，XX数的取值X围

题500：20xx–20xx学年XX省XX市高三第一学期期末九校联考试题（理)

已知函数（1）当时，求函数的最小值；

（2）设，若对任意的，都有，求整数的最大值

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