《等差数列的概念》优秀教案汇总 《等差数列的概念》数学教学设计

等差数列的概念教案的意义是帮助学生理解和掌握等差数列的概念和性质，培养他们的数学思维和逻辑推理能力。通过教学，学生能够掌握等差数列的定义、通项公式、求和公式等基本知识，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。以下是《等差数列的概念》优秀教案汇总和《等差数列的概念》数学教学设计，可供大家参考。

《等差数列的概念》优秀教案1

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际

应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生

学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公

式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依

据。

2、教学目标

根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课

的教学目标

a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数

列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的

思想方法并能运用。

b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来

研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于

总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为:

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此

用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个

难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因

此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。

二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰

富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽

象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启

发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进

思维能力的进一步发展。

二、教法分析

针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启

发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生

求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互

交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让

学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒

己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学程序

本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，

六个教学环节构成。

(一)复习引入：

1.从函数观点看,数列可看作是定义域为          对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的

       。（N﹡；解析式）

通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数

列问题作准备。

2. 小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背

单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的

五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ①

3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，10，15，20，25 ②

通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识

创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特

点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体

到抽象、由特殊到一般的认知能力。

(二) 新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差

都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

①“从第二项起”满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调

“同一个常数”）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转

化为数学语言，归纳出数学表达式：

an+1-an=d (n≥1)

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1. 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0

4. 1，2，3，2，3，4，……；×

5. 1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

《等差数列的概念》优秀教案2

【设计思路】

1．教法

①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．

③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．

2．学法

 引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法．

【教学过程】

一：创设情境，引入新课

1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？

2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10 000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数．

学生：

1：0，5，10，15，20，25，…．

2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．

3:10072，10144，10216，10288，10360.

（设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力．

二：观察归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，…．

②18，15．5，13，10．5，8，5．5．

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述数列有什么共同特点？

思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？

思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定．

教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义．

（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达．）

三：举一反三，巩固定义

1.判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;            

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;              

(4)4,7,10,13,16.                         

 教师出示题目,学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题．

注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 ．

（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）．

2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？

（设计意图：强化等差数列的证明定义法）

四：利用定义，导出通项

1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项？

 2.已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？

教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示．根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法．

（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）

五：应用通项，解决问题

1判断100是不是等差数列2， 9，16，…的项？如果是，是第几项？

2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3求等差数列 3,7,11，…的第4项和第10项

教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况．

学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

（设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系．初步认识“基本量法”求解等差数列问题．）

六：反馈练习：教材13页练习1

七：归纳总结：

1.一个定义：

等差数列的定义及定义表达式

2.一个公式：

等差数列的通项公式

3.二个应用：

定义和通项公式的应用

教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充

（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念．）

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．

《等差数列的概念》优秀教案3

　一、等差数列

　　1、定义

　　注：“从第二项起”及

　　“同一常数”用红色粉笔标注

　　二、等差数列的通项公式

　　（一）例题与练习

　　通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

　　（二）新课探究

　　1、由引入自然的给出等差数列的概念：

　　如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

　　① “从第二项起”满足条件； f

　　②公差d一定是由后项减前项所得；

　　③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；

　　在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

　　an+1—an=d （n≥1） ;h4z+0″6vG

　　同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

　　1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=—1

　　2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01

　　3。 0，0，0，0，0，0，……。; √ d=0

　　4。 1，2，3，2，3，4，……；×

　　5。 1，0，1，0，1，……×

　　其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0

　　由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

　　2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

　　在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

　　若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，

　　则据其定义可得：

　　a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +d

　　a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

　　a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

　　……

　　猜想： a40 = a1 +39d

　　进而归纳出等差数列的通项公式：

　　an=a1+（n—1）d

　　此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：

　　a2 – a1 =d

　　a3 – a2 =d

　　a4 – a3 =d

　　……

　　an+1 – an=d

　　将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d即 an= a1+（n—1） d （1）

　　当n=1时，（1）也成立，

　　所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立

　　因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

　　在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。

　　利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。

　　对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。

　　在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求

　　接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2 ， 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用

　　同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

　　（三）应用举例

　　这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

　　例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项

　　（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？

　　在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an

　　例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。

　　在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

　　例3 是一个实际建模问题

　　建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？

　　这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点）

　　设置此题的’目的：

　　1。加强同学们对应用题的综合分析能力，

　　2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣；

　　3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法

　　（四）反馈练习

　　1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

　　2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

　　目的：对学生加强建模思想训练。

　　3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列

　　此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

　　（五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获）

　　1。等差数列的概念及数学表达式．

　　强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

　　2。等差数列的通项公式 an= a1+（n—1） d会知三求一

　　3．用“数学建模”思想方法解决实际问题

　　（六）布置作业

　　必做题：课本P114 习题3。2第2，6 题

　　选做题：已知等差数列{an}的首项a１= —24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）

　　五、板书设计

　　在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

《等差数列的概念》优秀教案4

教学目标

1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．

教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.

教学方法

研探式.

教学过程

一.复习提问

前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？

等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

二.主体设计

通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

1.方程思想的运用

（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.

（2）已知等差数列中，首项，则公差

（3）已知等差数列中，公差，则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

2.基本量方法的使用

（1）已知等差数列中，，求的值.

（2）已知等差数列中，，求.

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.

教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知等差数列中，…

由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知等差数列中，求；；；；….

类似的还有

（4）已知等差数列中，求的值.

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出

3.研究等差数列的单调性

，考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

4.研究项的符号

这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？

（2）等差数列从第________项起以后每项均为负数.

三.小结

1.用方程思想认识等差数列通项公式；

2.用函数思想解决等差数列问题.

四.板书设计

等差数列通项公式1.方程思想的运用

2.基本量方法的使用

《等差数列的概念》优秀教案5

Ⅰ、教学目标：

（1）理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；

（2）经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系；

（3）对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义．

Ⅱ、教学重点难点

教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.

教学难点：等差数列的通项公式.

Ⅲ、教学过程

问题1  什么是等差数列？

追问1：看下面几个问题中的数列，你能发现它们的规律吗？

(1) 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内向外各圈的石板数依次为

9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①

(2)  S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是：

38，40，42，44，46，48． ②

(3) 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为

25，24，23，22，21．      ③

追问2：你能给出等差数列的定义吗？

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

追问3：判断下列数列是否为等差数列.

(1)  5，9，13，17，21，…

是，公差为4；

(2)  9，7，5，3，1，…

是，公差为-2；

(3)  6，6，6，6，6，…

是，公差为0；

(4)  0，1，0，1，0，1，…

不是，1－0＝1，0－1＝－1，不是同一个常数.

可以看到，等差数列的公差可以为正数、负数或者0.公差为正数时，等差数列单调递增；公差为负数时，等差数列单调递减；公差为0时，数列为常数列.

追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以A＝图片.

此时，我们把A叫做a和b的等差中项.也就是说，两个数a和b的等差中项是它们的算术平均数.这个性质在等差数列的研究中有重要的意义.

问题2 如何推导等差数列的通项公式呢？

追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：

an＋1－an＝d，n∈N .

追问2：你能根据递推公式，推导等差数列的通项公式吗？

由递推公式，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….

于是a2＝a1＋d，

a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，

a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，

……

归纳可得

an＝a1＋(n－1)d，

由于刚才的推导过程是从a2＝a1＋d开始的，所以这里n的范围是n≥2.

当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，

这就是说，上式对n=1也成立. 因此我们得到首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：

an＝a1＋(n－1)d，n∈N .

在刚才的推导过程中，我们根据等差数列的递推公式，先写出一些具体的递推关系式，观察它们的规律，归纳得到一般结论.这种由特殊到一般的推理方式，是数学中发现新规律和新结论的重要方法.

追问3：还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗？

an－an－1＝d，

an－2－an－3＝d，

…

a3－a2＝d，

a2－a1＝d.

一共有多少个等式呢？共有n个，我们可以从减项或被减项的角标发现规律，这也是我们在数列中数清项数的常用方法.

我们把这n个等式进行累加求和.

我们看到，在等式的左边，每一个式子的减项和下一个式子的被减项都消去了，最后只剩下第一个式子的被减项an＋1和最后一个式子的减项a1；每一个等式的右边都是常数d，一共有n个式子，所以累加后有

an－a1＝(n－1) d，

即an＝a1＋(n－1)d，n∈N

我们推导通项公式时用的累加法的过程，是由递推公式，写出了从a1到an＋1的所有递推关系式，对他们求和，最终得到an和a1、d与n的关系，并对n＝1时的情况进行了验证，是一种严谨的推导方法. 这种方法在处理由形如等差数列的递推公式，推导通项公式时，有非常广泛的应用.

追问4：你能写出下面这些数列的通项公式吗？

(1)  5，9，13，17，21，…

an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；

(2)  9，7，5，3，1，…

an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；

(3)  6，6，6，6，6，…

an＝6＋(n－1)×0＝6.

问题3  观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？

因为an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，

所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；

当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n).

追问1：等差数列{an}的图象和一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象有什么关系?

追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b （k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？

任给f(x)＝kx＋b （k，b为常数)，则an＝kn＋b，

a1＝f(1)＝k＋b，a2＝f(2)＝2k＋b，…，

an＝f(n)＝nk＋b，…，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋b

an＋1－an ＝f(n)－f(n)＝(nk＋b)－[(n＋1)k＋b]

        ＝k，n∈N.

所以，数列{an}是以k＋b为首项，k为公差的等差数列.

实际上，数列{an}为公差不为0的等差数列的充要条件是，数列{an}的通项公式是关于n的一次函数.

追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？

根据一次函数单调性的结论，当一次项系数大于0时，函数单调递增；当一次项系数小于0时，函数单调递减.等差数列通项公式看做一次函数时，一次项系数为公差d，因此，我们有：

问题4  利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？

例1 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列{an}的首项a1和公差d.

分析：有了通项公式，只要将n＝1代入，就能求得a1；由通项公式写出an－1的表达式，由an－an－1可求得公差d.

解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.

当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.

于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.

所以，数列{an}的首项a1为3，公差d为－2.

追问1：还有其他方法求公差d吗？

分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差d，已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为公差d.

解法2：把n＝2代入通项公式，得a2＝5－2×2＝1.

于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.

追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？

分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次项系数记为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值.

解法3：因为an＝5－2n，所以公差d＝－2.

思路小结：数列是一种特殊的函数.研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或前n项和公式，看成关于n的函数，用函数方法研究数列的相关性质，是研究数列时的常用方法.

例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？

分析：只要知道首项a1和公差d，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差d可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于n的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．

解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.

把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得

an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11.

所以a20＝－3×20＋11＝－49.

令－3n＋11＝－289，得n＝100.

所以－289是该数列中的第100项.

思路小结：等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本量”，知道了这两个基本量，就可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.实际上，等差数列的通项公式中共有四个量a1、d、n和an，知道其中3个，就可以列出方程，求出另外一个.根据已知条件，列出关于等差数列的通项公式中未知量的方程或方程组，求得未知量，是解决等差数列相关问题的常用方法.

问题5 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？

1. 从知识角度，我们学习了等差数列、等差中项的定义，推导了通项公式，并进行了简单的应用.在此过程中，我们由等差数列的定义，写出等差数列的递推公式；由递推公式，分别用归纳和累加的方法，推导出等差数列的通项公式.我们分别从函数和方程的角度，对通项公式进行了理解和认识，并解决了一些简单问题.

2. 从研究方法上看，由定义，写出等价的递推公式，再用适当方法推导出通项公式，这是我们研究特殊数列的常用方法，在我们今后学习等比数列的概念时还会用到. 在得到等差数列的通项公式后，我们分别从通过函数和方程的角度，运用通项公式，解决了一些简单问题. 函数和方程的思想，在我们学习数列的过程中发挥着重要的作用，希望同学在今后的学习中继续体会，自觉运用.

《等差数列的概念》优秀教案6

一、说教材

　　等差数列为人教版必修5第二章第二节的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的性质与应用等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

　　二、说学情

　　对于我校的高中学生，知识经验比较贫乏，虽然他们的智力发展已到了形式运演阶段，但并不具备教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

　　三、说教学目标

　　【知识与技能】能够准确的说出等差数列的特点;能够推导出等差数列的通项公式，并可以利用等差数列解决些简单的实际问题。

　　【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，锻炼知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。

　　【情感态度价值观】通过对等差数列的研究，激发主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

　　四、说教学重难点

　　【重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式的推导过程及应用。

　　【难点】等差数列通项公式的推导，用“数学建模”的思想解决实际问题。

　　五、说教法与学法

　　数学教学是师生之间交往活动共同发展的课程，结合本节课的特点，我采取指导自主学习方法，并在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

　　六、说教学过程

　　(一)复习导入

　　类比函数，复习提问数列的函数意义，即数列可看作是定义域为正整数对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

　　设计意图：通过复习，为本节课用函数思想研究数列问题作准备，将课堂设置成为阶梯型教学，消除学生的畏难情绪。

　　(二)新课教学

　　教师创设具体情境，从具体事例中抽象出数学概念。

　　1.小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92

　　2.小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为5，10，15，20，25

　　通过练习1和2引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

　　接下来由学生尝试总结归纳等差数列的定义：

　　如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,

　　这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

　　(三)深化概念

　　教师请学生深度剖析等差数列的概念，进一步强调

　　①“从第二项起”满足条件;

　　②公差d一定是由后项减前项所得;

　　③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数”);

　　在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：an+1-an=d(n≥1)

　　同时为配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。其中第一个数列公差小于0,第二个数列公差大于0,第三个数列公差等于0。由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0。

　　(四)归纳通项公式

　　在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。由学生研究，分组讨论上述四个等差数列的通项公式。通过总结对比找出共同点猜想一般等差数列的通向公式应为怎样的形式整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

　　猜想等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d

　　此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法—迭加法：

　　在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。

　　利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。

　　对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

　　在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求

　　接着举例说明：若一个等差数列{an｝的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2，

　　即an=2n-1,以此来巩固等差数列通项公式的运用。

　　同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

　　(五)应用举例

　　这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。

　　先让学生求等差数列的第20项、30项等。向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

　　此外还可以联系实际建模问题，如建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5.8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米?

　　这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型—–等差数列。

　　设置此题的目的：

　　1.加强同学们对应用题的综合分析能力;

　　2.通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣;

　　3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法。

　　(六)小结作业

　　小结：(由学生总结这节课的收获)

　　1.等差数列的概念及数学表达式。

　　强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

　　2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)，会知三求一。

　　3.用“数学建模”思想方法解决实际问题

　　作业：现实生活中还有哪些等差数列的实际应用呢?根据实际问题自己编写两道等差数列的题目并进行求解。

　　激发学生学习数学的兴趣，以及认识到学习数学的重要性，将数学知识应用于实际问题的解决不仅回顾加深了本堂课的教学内容，开阔学生思维，还锻炼了学生学以致用、观察分析问题解决问题的能力。

　　七、说板书设计

　　在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

《等差数列的概念》优秀教案7

【设计思路】 1．教法

①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性．

③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点． 2．学法

引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法．

【教学过程】

一：创设情境，引入新课

1．从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么

2．水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列

3．我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10 000元钱，年利率是0．72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数． 学生：

1：0，5，10，15，20，25，…． 2：18，15．5，13，10．5，8，5．5． 3:10072，10144，10216，10288，10360.（设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力．

二：观察归纳，形成定义 ①0，5，10，15，20，25，…． ②18，15．5，13，10．5，8，5．5． ③10072，10144，10216，10288，10360.思考1上述数列有什么共同特点

思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗 思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定． 教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义．

（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达．）

三：举一反三，巩固定义

1.判定下列数列是否为等差数列若是，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.教师出示题目,学生思考回答．教师订正并强调求公差应注意的问题．

注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 ．（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）． 2思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗为什么

（设计意图：强化等差数列的证明定义法）

四：利用定义，导出通项

1.已知等差数列：8，5，2，…，求第200项

2.已知一个等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢

教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示．根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法．

（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）五：应用通项，解决问题

1判断100是不是等差数列2，9，16，…的项如果是，是第几项 2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.3求等差数列 3,7,11，…的第4项和第10项

教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况． 学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

（设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系．初步认识“基本量法”求解等差数列问题．）

六：反馈练习：教材13页练习1 七：归纳总结： 1.一个定义：

等差数列的定义及定义表达式 2.一个公式： 等差数列的通项公式 3.二个应用： 定义和通项公式的应用

教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念．）

【设计反思】 本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力．本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．

《等差数列的概念》优秀教案8

1.理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义.

　　2.掌握等差数列的通项公式及其应用.

　　3.会判定或证明等差数列;了解等差数列与一次函数的关系.

　　1.等差数列

　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母d表示.

　　(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.

　　(2)公差d∈R，当d=0时，数列为常数列;当d>0时，数列为递增数列;当d<0时，数列为递减数列.

　　【做一做】等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________.

　　2.通项公式

　　等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则通项公式是an=________.

　　(1)如果数列{an}的通项公式是an=pn+q(p，q是常数)，那么数列{an}是等差数列.

　　(2)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1，n∈N)，那么数列{an}是等差数列.

　　【做一做】已知等差数列{an}中，首项a1=4，公差d=-2，则通项公式an等于(　　)

　　A.4-2nB.2n-4

　　C.6-2nD.2n-6

　　3.等差中项

　　如果三个数a，A，b成等差数列，那么____叫做______的等差中项.

　　等差中项的性质：

　　①A是a与b的等差中项，则

　　A=或2A=a+b，即两个数的等差中项有且只有一个.

　　②当2A=a+b时，A是a与b的等差中项.

　　【做一做3】13与-11的等差中项m=__________.

　　1.对等差数列定义的理解

　　剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个常数”.

　　①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列.

　　②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列.这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列.

　　(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：

　　在数列{an}中，如果an+1-an=d(常数)对任意n∈N都成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差.

　　(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即d=an+1-an=an-an-1=…=a3-a2=a2-a1.

　　(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为等差数列.

　　2.对等差数列通项公式的理解

　　剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式.

　　由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d)，如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数，即(n，an)在一次函数y=px+q的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.

　　所以公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.

　　当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点.

　　(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.

　　(3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.

　　题型一求等差数列的通项公式

　　1.求等差数列8,5,2，….的第20项;

　　2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，…,的项?如果是，是第几项?

　　3.若{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求an.

　　分析：先求出a1，d，然后求an.

　　反思：一般地，可由am=a，an=b，得求出a1和d，从而确定通项公式.

　　题型二实际应用问题

　　1.某市出租车的计价标准为1.2元/公里，起步价为10元，即最初的4公里(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14公里处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?

　　2.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度.

　　分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是12，因此，该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差.

　　反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项.

　　题型三等差数列的判定与证明

　　1.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p.q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?

　　2.已知数列{an}的通项公式为an=4-2n，求证：数列{an}是等差数列.

　　分析：只需证明an+1-an=常数或an-an-1=常数(n≥2).

　　反思：已知数列{an}的通项公式an=f(n)，用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤：

　　(1)利用通项公式an=f(n)写出an+1=f(n+1)(或an-1=f(n-1));

　　(2)作差an+1-an(或an-an-1)，将差变形;

　　(3)当差an+1-an(或an-an-1)是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列;当差an+1-an(或an-an-1)不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列.

　　1在等差数列{an}中，a1·a3=8，a2=3，则公差d=(　　)

　　A.1B.-1C.±1D.±2

　　2等差数列-3,1,5，…的第15项为(　　)

　　A.40B.53C.63D.76

　　3等差数列1，-1，-3，…，-89的项数是(　　)

　　A.92B.47C.46D.45

　　4已知数列{an}的通项公式是an=7n+2，求证：数列{lgan}是等差数列.

　　5有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行需铺瓦多少块?

　　答案：【例题1】解：由题意，知解得

　　故an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=n+4.

　　【例题2】解：设梯子的第n级的宽为ancm，其中最高一级宽为a1cm，则数列{an}是等差数列.

　　由题意，得a1=33，a12=110，n=12，

　　则a12=a1+11d.

　　所以110=33+11d，解得d=7.

　　所以a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103，

　　即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm,68cm,75cm,82cm,89cm，96cm，103cm.

　　【例题3】证明：∵an=4-2n，∴an+1=4-2(n+1)=2-2n.

　　∴an+1-an=(2-2n)-(4-2n)=-2.

　　∴{an}是等差数列.

　　答案：1.C　由题意解得d=±1.

　　2.B　a1=-3，d=1-(-3)=4，

　　故a15=a1+(15-1)d=-3+14×4=53.

　　3.C　a1=1，d=(-1)-1=-2，

　　故an=a1+(n-1)d=3-2n，

　　令-89=3-2n，解得n=46.

　　4.分析：转化为证明lgan+1-lgan是一个与n无关的常数.

　　证明：设bn=lgan=lg7n+2=(n+2)lg7，

　　则bn+1=[(n+1)+2]lg7=(n+3)lg7，

　　则bn+1-bn=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7=常数.

　　所以数列{bn}是等差数列，

　　即数列{lgan}是等差数列.

　　5.分析：转化为求等差数列的第15项.

　　解：设从上面开始第n行铺瓦an块，则数列{an}是首项为30，公差为3的等差数列.

　　则a15=a1+14d=30+14×3=72，

　　即该侧面最下面一行应铺瓦72块.

　　答案：1.(1)同一个常数　公差

　　【做一做1】3

　　2.a1+(n-1)d

　　【做一做2】C

　　3.A　a与b

《等差数列的概念》优秀教案9

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：

(1) 给等差数列下定义；

(2) 等差数列通项公式的探求；

(3) 通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性（差相等）的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．“观察───归纳───猜想───证明”是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

(1) 1，4，7，10，?；

(2) 3，－1，－5，－9，?；

(3) 5，5，5，5，?，

并由学生自行分析（必要时老师可作点拨）得出“从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名（学生易将这类数列称作“差相等的数列”或“等差数列）”，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列（板书），以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

(1) 教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名（等差数列）───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

(2) 等差数列的定义有两个要点．一是“从第2项起”．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是“差等于同一个常数”，这是等差数列的基本特点“差相等”的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

(1) 教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

(2) 通项公式的证明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，?，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，

得an= a1＋（n－1）d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋（1－1）d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，?）．

方法2（利用递推关系）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下标与d的系数的关系）

=?

= a1＋（n－1）d．

（n=1时的验证同方法1）．

(3) 公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c（其中c= a1－d，n?n）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（x?r）的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，?的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知数列－2，1，4，?，3n－5，?，

(1) 求证这个数列是等差数列，并求其公差；

(2) 求第100项及第2n－1项；

(3) 判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对(1)，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对(2)，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：(1)由于an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常数），

故这个数列是等差数列，且公差d=3．

(2) ∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3) 设3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3?n，

∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式．等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．

习题

1．已知等差数列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，则a4=．

2．已知数列｛an｝的通项公式是an=－2 n＋3，证明｛an｝是等差数列，并求出公差、首项及第2 n＋5项．

3．在数列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，则，a51等于，（）．

(a) 20 (b) 21 (c) 22

参考答案 (d) 23

１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差数列，且d= －2，a1=1，

a2n＋5= －4 n－7．

3．d．

引申与提高

除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一．我们把通项公式改写成a1= an＋（n－1）·（－d）（），并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的．这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an－1，an－2，?，a2，a1．由（）式知它仍成等差数列，并且公差为－d．由此知，从正、反两个不同的顺序看待“同一个”等差数列时，各自“等差”的特点保持不变，但公差互为相反数．

思 考 题

１．已知数列－5，－3，－1，1，?是等差数列，判断2n＋7（n∈n）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

２．已知数列－5，－3，－1，1，?是等差数列，判断2n＋7（n∈n）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，

∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

测 试 题

22．且｛an｝是等差数列，则1．已知数列an?的前4项分别为25，

238是数列an?中的（）．

(b) 第49项

an?1(a) 第48项 (c) 第50项 ?3?1an(d) 第51项 2．已知数列｛an｝中，a1=1，则a98=．

3．一个首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围．

《等差数列的概念》优秀教案10

教学目标

知识与技能目标：理解等差数列的定义；会根据等差数列的通项公式求某一项的值；会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。

过程与方法目标：通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考问题、解决问题的能力。

情感、态度、价值观目标：培养学生的逻辑推理能力；培养学生在探索中学习知识的精神，增强学生相互合作交流的意识。

教学重点：会求等差数列的通项公式。

教学难点：等差数列的通项公式的推导。

教学准备：课件

教学过程：

一、创设情境，引入课题

如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面

一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1

支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的

铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……

②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：

38，40，42，44，46，……

③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为：25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5.

师生互动，探索新知

教师：请同学们仔细观察，你发现这三组数列有什么变化规律？

生：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ；

数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ；

数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ；

[设计说明：采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度，增强学生学好数学的信心]

教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点。

提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么？

学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

教师：这样我们就得到了等差数列的定义。

<一>等差数列的定义：如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的公差d的数学表达式为： 。

基础训练：1、上面数列①的公差d= ； 数列②的公差d= ；

数列③的公差d=

[设计说明：有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]

2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，求出它的公差；若不是，则说明理由。

6，10，14，18，22，……；(2)9，8，7，6，5，4，3，2;(3)3，3，3，3，3，3;(4)1，0，1，0，1，0，1，0.

提出问题2：任何一个数列一定是等差数列吗？如果是等差数列，公差一定是正数吗？

师生讨论得出结论：

、一个数列是等差数列必须具有这样的特点： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

（2）等差数列的公差d可能是正数、负数、零。

[设计说明：从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等]

提出问题3：等差数列 的公差d的数学表达式为： ，

揭示了求公差d可以用哪些式子表示？

师生共同活动： 等，

变式：

提出问题4：如果等差数列 只知道首项 ，公差d，那么这个数列的其他项如何表示？

师生共同活动：

…，

[设计说明：问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]

《等差数列的概念》优秀教案11

【课题】等差数列

【教学内容】等差数列的定义及通项公式。

【教学目标】

知识目标：理解等差数列的概念；体会等差数列的通项公式的推导；会用等差数列的通项公式求相关项与项数。

能力目标：通过学生亲身经历探究、发现等差数列特征、等差数列通项公式的过程，培养学生观察、分析问题的能力和归纳推理能力。

情感目标：通过生活中等差数列问题的引入，让学生感悟数学的价值，体会数学的乐趣，学会用数学的观点去看待生活中的问题。小组合作，分析探讨，促进

学生的团结协作精神和表达﹑交流﹑组织﹑管理能力的提升，并分享成

功，反思缺陷。

【教学重点】等差数列的概念及通项公式。

【教学难点】等差数列“等差”特点的理解和利用通项公式建立方程求未知量，是本节的难点。

【教法】

本节课主要采用自主探究式教学方法．从现实情景中引入等差数列，通过学生主动观察、分析、探索出等差数列的本质特性，归纳出等差数列的通项公式。将数学还原到生活中去，增加了教学过程的实践性和趣味性．同时，学生亲历知识的形成过程，既能加深对知识的理解，又锻炼了他们观察问题、分析问题、解决问题的能力，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．

【学法】

学生自主观察发现，寻找规律，分析讨论，归纳总结出等差数列的特点和通项公式。【教学过程】

复习回忆：

师生同共回顾一般数列的有关概念：

一些数，按一定顺序排成一列就叫数列；每一个数叫数列的项；项在数列中的位置，叫序号（项数）；项与序号的关系用一个代数式表达，这个式子叫通项公式。

（设计意图：通过对数列有关基本概念的复习，为等差数列的顺利学习作好准备）情境引入：

与数列有关的例子在我们生活中有很多，例如下面的例子（多媒体显示）

1. 上舞蹈课的彭老师让幼教1班的小洁统计班上学生穿鞋的码数，以便统一购买舞蹈鞋，这样可以节约些。小洁统计的结果是：

21.5cm（2双）， 22cm（5双）， 22.5cm（10双）， 23cm（23双）， 23.5cm（5双），24cm（3双）

把这些码数按由小到大的顺序排列构成的数列为（学生回答）：

21.5,22，22.5，23，23.5,24

2．现在是旅游的黄金季节，旅游专业的小红为了提高自己的综合素质，应聘到“涪陵白鹤梁景点”做一个月的周末（九月份每周六全天）见习解说员。小红很兴奋地将九月的所有礼拜六的日期写了下来将它贴在了自己床边的醒目位置，这些日期号码按时间的先后组成的数列是（学生回答）：1，8，15，22，27

3.平常我们常常这样数数，从0开始，每隔5个数数一次，这样得到的数列是：

（学生回答）：0，5，10，15，20，25，30，35，…

引导学生观察上面的三个数列有什么共同特点?

结论：这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们把具有这一特点的数列叫做等差数列。

（设计意图：通过生活中等差数列实例的观察，总结出等差数列的特征，激发学生的学习兴趣，培养其观察分析能力）

新课学习

1.等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

上面三个数列都是等差数列，公差依次是，，。（学生回答）

你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？强调：

①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；

②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的”等差”特征）；

等差数列定义的数学表达式（在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语

言转化为数学语言，归纳出数学表达式）： n+1n +a -a =d,n ∈N

试一试：（加深对概念的理解）判断下列数列是否是等差数列，若是，指出其公差。 ○1 9 ，8，7，6，5，4 ○2 3，3，3，3，…，

○3 1，4，7，10，13，16 ○4 2，4，8，16，32

○

5 2，5，8，11，1

6 说明：（1）判断一个数列是否等差数列，必须全面考察，要求首项后面的所有项与前项

的差都是同一个数才行。（2）等差数列的公差d 可以是正数、负数，也可以是0。

（3）公差为0的等差数列叫常数列。

2.等差数列的通项公式探求

问题：完成下列填空，小组间交流，分享你的经验

（1）差数列}{n a 中，首项为1a =4，公差d =6，则2a =

（2）差数列}{n a 中，首项为1a =3，公差d =4，则3a =

（3）差数列}{n a 中，首项为1a =1，公差d =5，则4a =

（4）差数列}{n a 中，首项为1a =2，公差d =5，则10a =

（5）差数列}{n a 中，首项为1a =2，公差d =5，则101a =

（6）差数列}{n a 中，首项为1a =2，公差d =5，则n a =

一般的，等差数列}{n a 中，首项为1a ，公差为d ，

那么：d a a )12(12-+=，

d a a )13(13-+=

d a a )14(14-+=

………………………

d n a a n )1(1-+=

这就是等差数列的通项公式。

3.公式理解

① 只要知道首项和公差，可以求出数列的任意一项；

②通项公式含有n a n d a ,,,1这4个量，已知3个量，第4个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第4个量。即利用方程的思想可以“知三可求一”。

（设计意图：1.将抽象的等差数列通项公式予于一个具体的数列问题中，让学生计算并相互交流、分享经验，便于更深入的体会等差数列的特征，更利于公式的理解与掌握。

2.让学生以小组为单位开展主动的探索和研究，提高学生学习主动性，锻炼了学生观察、分析问题能力和归纳能力。同时，小组合作，培养学生团结协作精神，并带动差生。

3.研究的问题设置由浅入深，所求的项由小到大，逼迫学生开动脑筋，去寻找方法，发现规律，锻练了学生的思维，也符合学生的认知规律。）

例题教学

例1．求等差数列8，5，2，……的第20项。

分析：由给出的三项先找到首项1a ,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项.

解：因为18a =，583d =-=-，所以这个数列的通项公式是

8(1)(3)n a n =+-?-

即311n a n =-+ 所以

203201149a =-?+=-

说明：由等差数列通项公式可以发现，写出等差数列通项公式的关键是首项与公差，只

要知道了首项与公差，立即可以写出其通项公式，从而求出任意项。

例2 .等差数列-5,-9,-13……的第多少项是-401？

分析：已知等差数列中，15a =-，d=(-9)-(-5)=-4, 401n a =-,在通项公式

d n a a n )1(1-+=中，已知n, n a ,d 三个量，只有一个量1a 不知道。所以，通过解方程即可求出。

解：由题意有(9)(5)4d =—=-，401n a =-，19a =-，

由等差数列通项公式得：4019(1)(4)n -=-+-?-

解得 100n =

说明：利用等差数列通项公式，建立方程，解出所需量，是一种基本的方法。

（设计意图：两个例题在教师讲解前，可让学生先尝试解答，提高其学习主动性。两个例题的讲解，可以使学生巩固等差数列的通项公式，

体会知三求一的思想方法。）

课堂练习

1. 求等差数列10，8，6，……的第20项.

2. 100是不是等差数列2，9，16，……的项？若是，是第几项？若不是，说明理由.

3.在等差数列{a

n }中，已知a

10

=8,d=－2，求a

30

的值

练习后，以小组为单位互相检查，讨论。并请两位学生展示他们的解答过程。

练习3是一道提高题，学生用方程的方法解决后，教师让学生讨论由等差数列的特征，还有无更简单的方法。

（设计意图：通过练习，强化等差数列的通项公式的掌握，加深本课知识的理解）课堂小结

让学生思考回答，本节课主要学习了什么？

归纳出本节知识要点：

1．等差数列的定义。等差数列定义的关键是“差”。知道相邻

两项，立即可以求出公差；知道任意两项，也可以求出公差，这时两项之差等于公差与这两项相隔项数之积。

2．等差数列通项公式：a

n = a

1

+(n-1)d。要在定义理解的基础上

牢记；公式应用会知三求一，会通过建立方程或方程组解决相关问题。

课外作业

1.课本P10 练习1第1，2,3 题

2.接轨生活：

第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，以后每隔4年举行一奥次运会如因故不能举行，届数照算(1)2008年北京奥运会是第几届？(2)2050年举行奥运会吗？

3.查资料，了解数学家高斯的故事，特别是他小时计算1到100

的和，即：1+2+3+……+100的方法。

《等差数列的概念》优秀教案12

　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

　　2、教学目标

　　根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

　　a知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　b.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。

　　c.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

　　3、教学重点和难点

　　重点：

　　①等差数列的概念。

　　②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

　　难点：

　　①等差数列的通项公式的推导

　　②用数学思想解决实际问题

　　二、学情教法分析：

　　对于高一学生，知识经验已较为丰富，具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。学生在初中时只是简单的接触过等差数列，具体的公式还不会用，因些在公式应用上加强学生的理解

　　三、学法分析：

　　在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

　　四、教学过程

　　1.创设情景 提出问题

　　首先要学生回忆数列的有关概念，数列的两种方法——通项公式和递推公式

《等差数列的概念》优秀教案13

教学目的：

　　1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。

　　2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题。

　　教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。

　　教学难点：等差数列的性质

　　教学过程：

　　一、复习引入：（课件第一页）

　　二、讲解新课：

　　1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

　　（课件第二页）

　　⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

　　⑵．对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。

　　2．等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： （课件第二页） 第二通项公式 （课件第二页）

　　三、例题讲解

　　例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

　　例2 在等差数列 中，已知 ， ，求 , ,

　　例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。

　　小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的`斜率

　　例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3）

　　例5 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4）

　　分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。

　　注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

　　例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数.

　　四、练习：

　　1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

　　（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.

　　（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

　　（4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

　　2.在等差数列{ }中，

　　（1）已知 =10, =19,求 与d;

　　五、课后作业：

　　习题3.2 1（2），（4） 2.（2）， 3， 4， 5， 6 . 8. 9.

《等差数列的概念》优秀教案14

　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。另一方面，等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着广泛的实际应用。

　　2、教学目标：

　　a、在知识上，要求学生理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能简单运用。

　　b、在能力上，注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列上来，培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。

　　c、在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

　　3、教学重、难点：

　　重点：

　　①等差数列的概念。

　　②等差数列通项公式的推导过程及应用。

　　难点：

　　①等差数列的通项公式的推导。

　　②用数学思想解决实际问题。

　　二、学情分析

　　对于高二的学生，知识经验已经比较丰富，他们的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

　　三、教法、学法分析

　　教法：本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析并解决问题。

　　学法：在引导学生分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想、探索，鼓励学生大胆质疑，围绕等差数列这个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。

　　四、教学过程

　　我把本节课的教学过程分为六个环节：

　　（一）创设情境，提出问题

　　问题情境（通过多媒体给出现实生活中的四个特殊的数列）

　　1、我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，10，15，20，①

　　2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）：48，53，58，63②

　　3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5，最低降至5那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15、5，13，10、5，8，5、5③

　　4、按照我国现行储蓄制度（单利），某人按活期存入10000元钱，5年内各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10072，10144，10216，10288，10360④

　　教师活动：引导学生观察以上数列，提出问题：

　　问题1、请说出这四个数列的后面一项是多少？

　　问题2、说出这四个数列有什么共同特点？

　　（二）新课探究

　　学生活动：对于问题1，学生容易给出答案。而问题2对学生来说较为抽象，不易回答准确。

　　教师活动：为引导学生得出等差数列的概念，我对学生的表述进行归类，引导学生得出关键词“从第2项起”、“每一项与前一项的差”、“同一个常数”告诉他们把满足这些条件的数列叫做等差数列，之后由他们集体给出等差数列的概念以及其数学表达式。

　　同时为了配合概念的理解，用多媒体给出三个数列，由学生进行判断：

　　判断下面的数列是否为等差数列，是等差数列的找出公差

　　1、1，2，3，4，5，6，；（√，d = 1）

　　2、0、9，0、7，0、5，0、3，0、1；（√，d = —0、2）

　　3、0，0，0，0，0，0，、；（√，d = 0）

　　其中第一个数列公差>0，第二个数列公差

　　由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

　　在理解等差数列概念的基础上提出：

　　问题3、如果等差数列的首项是a1，公差是d，如何用首项和公差将an表示出来？

　　教师活动：为引导学生得出通项公式，我采用讨论式的教学方法。让学生自由分组讨论，在学生讨论时引导他们得出a10=a1+9d，a40=a1+39d，进而猜想an=a1+（n—1）d。

　　整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

　　此时指出：这就是不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，进而提出：

　　问题4、怎么样严谨的求出等差数列的通项公式？

　　利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加，最后证出通项公式。在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想”的教学要求。

　　接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是1，公差是2，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2，即an=2n—1、以此来巩固等差数列通项公式运用，同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n的一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。这一题用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

　　（三）应用举例

　　这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式的理解及运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a

　　1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

　　例1（1）求等差数列8，5，2，的第20项；第30项；第40项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，的项？如果是，是第几项？

　　在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an

　　例2在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d、在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固。

　　例3是一个实际建模问题

　　某出租车的计价标准为1、2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

　　这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意“出租车的计价标准为1、2元/km”使学生想到在每个整公里时出租车的车费构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型。

　　设置此题的目的：加强学生对“数学建模”思想的认识。

　　（四）反馈练习

　　1、小节后的练习中的第1题

　　目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

　　2、小节后的练习中的第2题

　　目的：对学生加强建模思想训练。

　　3、课本P38例3（备用）

　　已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？它与函数y=px+q两者图象间有什么关系？

　　目的：此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义解决数列问题同时强化了等差数列的概念；进而让学生从数（结构特征）与形（图象）上进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系

　　（五）归纳小结

　　（由学生总结这节课的收获）

　　1、等差数列的概念及数学表达式

　　强调关键词：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

　　2、等差数列的通项公式an=a1+（n—1）d会知三求一

　　3、用“数学建模”思想方法解决实际问题

　　（六）布置作业

　　必做题：课本P40习题2、2 A组第1、3、4题

　　选做题：课本P40习题2、2 B组第1题

　　课后实践：

　　将学生分成三个小组，要求他们分别找出现实生活中公差大于、小于、等于0的典型的等差数列的模型，在下节课派代表为我们讲解所选的等差数列。

　　目的是让学生主动参与具体的教学实践，进一步巩固知识，激发兴趣。

　　五、结束

　　本节课我根据高二学生的心理特征及认知规律，通过一系列问题贯穿教学始终，符合新课标要求的“以教师为主导，学生为主体”的思想，并最终达到预期的教学效果。

《等差数列的概念》优秀教案15

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

2、教学目标

理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；

3、教学重点和难点

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。

二、学情分析对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

二、教法分析

本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、教学程序

本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例（四）归纳小结（五）布置作业，五个教学环节构成。

(一)复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本p41页的4个例子)

(1)0，5，10，15，20，25，…;

(2)48，53，58，63，…;

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

(二) 新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调：

① ―从第二项起‖满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调―同一个常数‖ ）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d(n≥1)

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0

4. 1，2，3，2，3，4，……；×

5. 1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 ，当d=0，an 为常数列。

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,

则据其定义可得：

a2 – a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+(n-1)d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d （第一通项公式）

当n=1时，（1）也成立，

所以对一切n∈n＊，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖ 的教学要求

am 与an有什么关系呢？

am=a1+(m-1)d①

an=a1+(n-1)d②

a1=am-(m-1)d代入②得an=am-(m-1)d+(n-1)d 即：an=am+(n-m)d(第二通项公式)

（三）应用举例

【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

分析（1）

这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?

首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

分析（2）

由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.

【例2】 已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么?

只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.

说得对，请你来求解.

当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,

所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

这里要重点说明的是：

(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….

(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第三通项公式.

（五）归纳小结1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d会知三求一

(六)布置作业

必做题：课本p114习题3.2第2，6 题

五、板书设计

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